Lukiskan diagram Cartesius setiap pada sistem

Daerah penyelesaian adalah segitiga tertutup dengan titik pojok (0,0), (0,-4), dan (1,-2).

Pembahasan

Untuk melukiskan diagram Cartesius dan menemukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y <= 0, 2x - y <= 4, dan 0 <=x <= 8, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan garis:**
    *   2x + y = 0  => y = -2x
    *   2x - y = 4  => y = 2x - 4
    *   x = 0
    *   x = 8

2.  **Cari titik potong untuk setiap garis:**
    *   Untuk y = -2x:
        Jika x = 0, y = 0. Titik (0,0).
        Jika x = 2, y = -4. Titik (2,-4).
    *   Untuk y = 2x - 4:
        Jika x = 0, y = -4. Titik (0,-4).
        Jika x = 2, y = 0. Titik (2,0).
    *   Garis x = 0 adalah sumbu y.
    *   Garis x = 8 adalah garis vertikal yang memotong sumbu x di 8.

3.  **Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan:**
    *   **2x + y <= 0:** Ambil titik (1,0). 2(1) + 0 = 2. Karena 2 tidak <= 0, maka daerah penyelesaian berada di sisi berlawanan dari garis y = -2x yang melewati (1,0).
    *   **2x - y <= 4:** Ambil titik (0,0). 2(0) - 0 = 0. Karena 0 <= 4, maka daerah penyelesaian berada di sisi garis y = 2x - 4 yang melewati (0,0).
    *   **0 <= x <= 8:** Ini berarti daerah penyelesaian berada di antara garis x = 0 (sumbu y) dan garis x = 8.

4.  **Lukiskan garis-garis tersebut pada sistem Cartesius dan tentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.**
    *   Garis y = -2x melewati (0,0) dan (2,-4).
    *   Garis y = 2x - 4 melewati (0,-4) dan (2,0).
    *   Daerah yang memenuhi 2x + y <= 0 berada di bawah garis y = -2x.
    *   Daerah yang memenuhi 2x - y <= 4 berada di atas garis y = 2x - 4.
    *   Daerah yang memenuhi 0 <= x <= 8 berada di antara sumbu y dan garis x = 8.

5.  **Identifikasi titik-titik pojok:**
    Titik-titik pojok adalah perpotongan dari garis-garis batas daerah penyelesaian.
    *   Perpotongan y = -2x dan y = 2x - 4:
        -2x = 2x - 4
        4x = 4
        x = 1
        y = -2(1) = -2. Titik (1,-2).
    *   Perpotongan y = -2x dan x = 8:
        y = -2(8) = -16. Titik (8,-16).
    *   Perpotongan y = 2x - 4 dan x = 8:
        y = 2(8) - 4 = 16 - 4 = 12. Titik (8,12).
    *   Perpotongan y = -2x dan x = 0 (sumbu y):
        y = -2(0) = 0. Titik (0,0).
    *   Perpotongan y = 2x - 4 dan x = 0 (sumbu y):
        y = 2(0) - 4 = -4. Titik (0,-4).

    Namun, kita perlu memastikan titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan.
    *   Titik (1,-2): 2(1)+(-2)=0<=0 (Benar), 2(1)-(-2)=4<=4 (Benar), 0<=1<=8 (Benar).
    *   Titik (8,-16): 2(8)+(-16)=0<=0 (Benar), 2(8)-(-16)=32<=4 (Salah).
    *   Titik (8,12): 2(8)+12=28<=0 (Salah).
    *   Titik (0,0): 2(0)+0=0<=0 (Benar), 2(0)-0=0<=4 (Benar), 0<=0<=8 (Benar).
    *   Titik (0,-4): 2(0)+(-4)=-4<=0 (Benar), 2(0)-(-4)=4<=4 (Benar), 0<=0<=8 (Benar).

    Perlu diperiksa kembali perpotongan garis:
    1.  Perpotongan 2x + y = 0 dan 2x - y = 4:
        Jumlahkan kedua persamaan: 4x = 4 => x = 1. Substitusi ke persamaan pertama: 2(1) + y = 0 => y = -2. Titik (1, -2).
    2.  Perpotongan 2x + y = 0 dan x = 8:
        Substitusi x = 8 ke persamaan pertama: 2(8) + y = 0 => 16 + y = 0 => y = -16. Titik (8, -16).
    3.  Perpotongan 2x - y = 4 dan x = 8:
        Substitusi x = 8 ke persamaan kedua: 2(8) - y = 4 => 16 - y = 4 => y = 12. Titik (8, 12).
    4.  Perpotongan 2x + y = 0 dan x = 0:
        Substitusi x = 0 ke persamaan pertama: 2(0) + y = 0 => y = 0. Titik (0, 0).
    5.  Perpotongan 2x - y = 4 dan x = 0:
        Substitusi x = 0 ke persamaan kedua: 2(0) - y = 4 => -y = 4 => y = -4. Titik (0, -4).

    Sekarang, uji titik-titik pojok ini terhadap semua pertidaksamaan:
    *   (1, -2):
        2(1) + (-2) = 0 <= 0 (Benar)
        2(1) - (-2) = 4 <= 4 (Benar)
        0 <= 1 <= 8 (Benar)
        -> Titik (1, -2) adalah titik pojok yang valid.
    *   (8, -16):
        2(8) + (-16) = 0 <= 0 (Benar)
        2(8) - (-16) = 32 <= 4 (Salah)
        -> Titik (8, -16) bukan daerah penyelesaian.
    *   (8, 12):
        2(8) + 12 = 28 <= 0 (Salah)
        -> Titik (8, 12) bukan daerah penyelesaian.
    *   (0, 0):
        2(0) + 0 = 0 <= 0 (Benar)
        2(0) - 0 = 0 <= 4 (Benar)
        0 <= 0 <= 8 (Benar)
        -> Titik (0, 0) adalah titik pojok yang valid.
    *   (0, -4):
        2(0) + (-4) = -4 <= 0 (Benar)
        2(0) - (-4) = 4 <= 4 (Benar)
        0 <= 0 <= 8 (Benar)
        -> Titik (0, -4) adalah titik pojok yang valid.

    Perlu diperiksa lagi titik potong antara y = -2x dan x=8, serta y = 2x-4 dan x=8. Ternyata, daerah penyelesaiannya dibatasi oleh x=0, x=8, y=-2x, dan y=2x-4.
    Titik potong penting lainnya adalah:
    *   Perpotongan y = -2x dengan x = 8 adalah (8, -16).
    *   Perpotongan y = 2x - 4 dengan x = 8 adalah (8, 12).

    Mari kita periksa kembali daerah penyelesaiannya:
    Daerah 1: 2x + y <= 0 (di bawah y = -2x)
    Daerah 2: 2x - y <= 4 (di atas y = 2x - 4)
    Daerah 3: 0 <= x <= 8 (antara x=0 dan x=8)

    Titik pojok yang memenuhi ketiga kondisi tersebut adalah:
    1.  Perpotongan x=0 dan y=-2x: (0,0)
    2.  Perpotongan x=0 dan y=2x-4: (0,-4)
    3.  Perpotongan y=-2x dan y=2x-4: (1,-2)
    4.  Perpotongan x=8 dan y=-2x: (8,-16)
    5.  Perpotongan x=8 dan y=2x-4: (8,12)

    Sekarang, kita uji lagi titik-titik ini dengan pertidaksamaan asli:
    *   (0,0): 0<=0 (T), 0<=4 (T), 0<=0<=8 (T). Valid.
    *   (0,-4): -4<=0 (T), 4<=4 (T), 0<=0<=8 (T). Valid.
    *   (1,-2): 0<=0 (T), 4<=4 (T), 0<=1<=8 (T). Valid.
    *   (8,-16): 0<=0 (T), 32<=4 (F). Invalid.
    *   (8,12): 28<=0 (F). Invalid.

    Ternyata ada kesalahan dalam interpretasi daerahnya. Mari kita gambar ulang.
    Garis y = -2x melewati (0,0), (1,-2), (2,-4).
    Garis y = 2x - 4 melewati (0,-4), (1,-2), (2,0).
    Garis x = 0 adalah sumbu y.
    Garis x = 8 adalah garis vertikal.

    Daerah penyelesaian adalah daerah yang berada di bawah y = -2x, di atas y = 2x - 4, dan di antara x = 0 dan x = 8.

    Titik potong yang relevan:
    *   Perpotongan x = 0 dengan y = -2x adalah (0,0).
    *   Perpotongan x = 0 dengan y = 2x - 4 adalah (0, -4).
    *   Perpotongan y = -2x dengan y = 2x - 4 adalah (1, -2).
    *   Perpotongan x = 8 dengan y = -2x adalah (8, -16).
    *   Perpotongan x = 8 dengan y = 2x - 4 adalah (8, 12).

    Sekarang kita harus memilih titik-titik yang memenuhi *semua* kondisi:
    *   (0,0): memenuhi semua.
    *   (0,-4): memenuhi semua.
    *   (1,-2): memenuhi semua.
    *   (8,-16): memenuhi 2x+y<=0 dan x<=8, tapi tidak memenuhi 2x-y<=4 (karena 2(8)-(-16) = 32 > 4).
    *   (8,12): memenuhi 2x-y<=4 dan x<=8, tapi tidak memenuhi 2x+y<=0 (karena 2(8)+12 = 28 > 0).

    Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh garis x=0, garis y=-2x, garis y=2x-4, dan garis x=8. Namun, perlu dilihat bahwa daerah yang dibatasi oleh x=8 dan dua garis lainnya tidak memenuhi syarat. Kita perlu mencari titik potong yang valid.

    Titik potong yang valid dan membentuk daerah penyelesaian tertutup adalah:
    1.  Perpotongan x=0 dan y=-2x: (0,0).
    2.  Perpotongan x=0 dan y=2x-4: (0,-4).
    3.  Perpotongan y=-2x dan y=2x-4: (1,-2).
    4.  Perpotongan y=-2x dan x=8. Ini adalah (8,-16). Kita perlu memeriksa apakah titik ini berada di sisi yang benar dari y=2x-4. Untuk x=8, y=2x-4 adalah y=12. Karena -16 < 12, maka (8,-16) berada di bawah garis y=2x-4, yang berarti tidak memenuhi 2x-y<=4. Jadi (8,-16) bukan titik pojok daerah penyelesaian.
    5.  Perpotongan y=2x-4 dan x=8. Ini adalah (8,12). Kita perlu memeriksa apakah titik ini berada di sisi yang benar dari y=-2x. Untuk x=8, y=-2x adalah y=-16. Karena 12 > -16, maka (8,12) berada di atas garis y=-2x, yang berarti tidak memenuhi 2x+y<=0. Jadi (8,12) bukan titik pojok daerah penyelesaian.

    Mari kita fokus pada daerah yang memenuhi ketiga kondisi:
    *   2x + y <= 0 (y <= -2x)
    *   2x - y <= 4 (y >= 2x - 4)
    *   0 <= x <= 8

    Titik potong yang memenuhi:
    1.  (0,0): y=0, -2x=0, 2x-4=-4. 0<=0, 0>=-4, 0<=0<=8. Valid.
    2.  (0,-4): y=-4, -2x=0, 2x-4=-4. -4<=0, -4>=-4, 0<=0<=8. Valid.
    3.  (1,-2): y=-2, -2x=-2, 2x-4=-2. -2<=-2, -2>=-2, 0<=1<=8. Valid.

    Perhatikan bahwa pada x=8, batas atas y adalah -2*8 = -16 (dari y<=-2x) dan batas bawah y adalah 2*8-4 = 12 (dari y>=2x-4). Tidak ada nilai y yang memenuhi -16 <= y <= 12 jika x=8 DAN y<=-2x DAN y>=2x-4.
    Ini berarti daerah penyelesaiannya dibatasi oleh titik (0,0), (0,-4), dan (1,-2). Namun, ini hanya sebagian dari daerah penyelesaian.

    Untuk x antara 0 dan 1, daerahnya dibatasi oleh y=-2x (atas) dan y=2x-4 (bawah).
    Untuk x antara 1 dan 8, daerahnya dibatasi oleh y=-2x (atas) dan y=2x-4 (bawah) TETAPI kita juga punya batasan 0<=x<=8.

    Karena 2x+y<=0 => y<=-2x dan 2x-y<=4 => y>=2x-4. Maka kita mencari daerah di mana 2x-4 <= y <= -2x.
    Agar ada solusi untuk y, kita harus punya 2x-4 <= -2x.
    4x <= 4
    x <= 1.

    Ini berarti bahwa sistem pertidaksamaan ini hanya memiliki solusi untuk x <= 1. Dikombinasikan dengan 0 <= x <= 8, maka rentang x yang valid adalah 0 <= x <= 1.

    Jadi, daerah penyelesaiannya berada di antara garis x=0, garis y=-2x, dan garis y=2x-4.
    Titik pojoknya adalah:
    *   Perpotongan x=0 dan y=-2x: (0,0)
    *   Perpotongan x=0 dan y=2x-4: (0,-4)
    *   Perpotongan y=-2x dan y=2x-4: (1,-2)

    Daerah penyelesaiannya adalah daerah segitiga tertutup yang dibentuk oleh ketiga titik pojok ini.

    Diagram Cartesius:
    *   Garis y = -2x melewati (0,0) dan (1,-2).
    *   Garis y = 2x - 4 melewati (0,-4) dan (1,-2).
    *   Garis x = 0 adalah sumbu y.

    Daerah penyelesaiannya adalah daerah segitiga dengan titik-titik pojok (0,0), (0,-4), dan (1,-2). Daerah ini adalah daerah tertutup.