Max z = 8x1 + 5x2 s.t x1 + x2 <= 6 9x1 + 5x2 <= 45 x1 x2 >=

Nilai maksimum z = 41.25 pada x1 = 3.75 dan x2 = 2.25.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah program linear ini dengan metode grafik, kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan z = 8x1 + 5x2, dengan kendala-kendala:
1. x1 + x2 <= 6
2. 9x1 + 5x2 <= 45
3. x1 >= 0
4. x2 >= 0

Langkah-langkah:
1.  **Menggambar Garis Kendala:**
    *   Kendala 1: x1 + x2 = 6
        Jika x1=0, maka x2=6. Titik (0, 6).
        Jika x2=0, maka x1=6. Titik (6, 0).
Garis melalui (0, 6) dan (6, 0).
    *   Kendala 2: 9x1 + 5x2 = 45
        Jika x1=0, maka 5x2=45 => x2=9. Titik (0, 9).
        Jika x2=0, maka 9x1=45 => x1=5. Titik (5, 0).
Garis melalui (0, 9) dan (5, 0).
    *   Kendala 3 & 4: x1 >= 0 dan x2 >= 0 menunjukkan bahwa kita berada di kuadran pertama (area di atas sumbu x dan di kanan sumbu y).

2.  **Menentukan Daerah Feasible (Himpunan Penyelesaian):**
    Kita perlu menguji titik (0,0) untuk setiap pertidaksamaan:
    *   x1 + x2 <= 6 => 0 + 0 <= 6 (Benar). Daerah penyelesaian berada di bawah garis x1 + x2 = 6.
    *   9x1 + 5x2 <= 45 => 9(0) + 5(0) <= 45 (Benar). Daerah penyelesaian berada di bawah garis 9x1 + 5x2 = 45.
    
    Daerah feasible adalah area yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis x1 + x2 = 6, dan garis 9x1 + 5x2 = 45, yang memenuhi semua kondisi.

3.  **Mencari Titik-titik Sudut Daerah Feasible:**
    Titik-titik sudut adalah perpotongan garis-garis kendala:
    *   Titik A: Perpotongan sumbu y (x1=0) dengan garis x1 + x2 = 6. Jika x1=0, maka x2=6. Titik A = (0, 6).
    *   Titik B: Perpotongan garis x1 + x2 = 6 dengan garis 9x1 + 5x2 = 45.
        Dari x1 + x2 = 6, kita dapatkan x2 = 6 - x1.
        Substitusikan ke persamaan kedua:
        9x1 + 5(6 - x1) = 45
        9x1 + 30 - 5x1 = 45
        4x1 = 15
        x1 = 15/4 = 3.75
        Sekarang cari x2: x2 = 6 - x1 = 6 - 3.75 = 2.25. Titik B = (3.75, 2.25).
    *   Titik C: Perpotongan sumbu x (x2=0) dengan garis 9x1 + 5x2 = 45. Jika x2=0, maka 9x1=45 => x1=5. Titik C = (5, 0).
    *   Titik O: Perpotongan sumbu x dan sumbu y, yaitu (0, 0).

4.  **Mengevaluasi Fungsi Tujuan di Setiap Titik Sudut:**
    Kita substitusikan koordinat setiap titik sudut ke dalam fungsi tujuan z = 8x1 + 5x2:
    *   Titik O (0, 0): z = 8(0) + 5(0) = 0
    *   Titik A (0, 6): z = 8(0) + 5(6) = 30
    *   Titik B (3.75, 2.25): z = 8(3.75) + 5(2.25) = 30 + 11.25 = 41.25
    *   Titik C (5, 0): z = 8(5) + 5(0) = 40

5.  **Menentukan Nilai Maksimum:**
    Nilai maksimum dari z adalah nilai terbesar yang diperoleh dari evaluasi di titik-titik sudut. Dalam kasus ini, nilai maksimum adalah 41.25 yang terjadi pada titik B (3.75, 2.25).

Jadi, penyelesaian dengan metode grafik menunjukkan bahwa nilai maksimum z adalah 41.25 yang dicapai ketika x1 = 3.75 dan x2 = 2.25.