Membuktikan dengan Induksi matematis Buktikan bahwa

Terbukti bahwa n^3 + 5n adalah kelipatan 6 untuk setiap bilangan asli n menggunakan induksi matematis.

Pembahasan

Kita akan membuktikan dengan induksi matematis bahwa pernyataan $P(n): n^3 + 5n$ adalah kelipatan 6 untuk setiap bilangan asli $n$.

**Langkah 1: Basis Induksi (n=1)**
Untuk $n=1$, kita periksa apakah $P(1)$ benar.
$P(1): 1^3 + 5(1) = 1 + 5 = 6$
Karena 6 adalah kelipatan 6 (6 = 6 × 1), maka $P(1)$ benar.

**Langkah 2: Hipotesis Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan $P(k)$ benar untuk suatu bilangan asli $k$. Artinya, $k^3 + 5k$ adalah kelipatan 6. 
Ini berarti kita dapat menulis $k^3 + 5k = 6m$ untuk suatu bilangan bulat $m$.

**Langkah 3: Langkah Induktif**
Kita perlu membuktikan bahwa $P(k+1)$ juga benar. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa $(k+1)^3 + 5(k+1)$ adalah kelipatan 6.

Mari kita ekspansi $(k+1)^3 + 5(k+1)$:
$(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$
$5(k+1) = 5k + 5$

Jadi, $(k+1)^3 + 5(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (5k + 5)$
$= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5$
$= k^3 + 5k + 3k^2 + 3k + 6$

Sekarang, kita kelompokkan suku-suku berdasarkan hipotesis induksi ($k^3 + 5k = 6m$):
$= (k^3 + 5k) + 3k^2 + 3k + 6$
$= 6m + 3k^2 + 3k + 6$

Kita bisa memfaktorkan 3 dari suku $3k^2 + 3k$:
$= 6m + 3(k^2 + k) + 6$

Kita perlu menunjukkan bahwa seluruh ekspresi ini adalah kelipatan 6. Kita sudah memiliki $6m$ dan $6$, yang keduanya kelipatan 6. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa $3(k^2 + k)$ juga merupakan kelipatan 6. 

Perhatikan ekspresi $k^2 + k$. Kita bisa memfaktorkannya menjadi $k(k+1)$. 
$k(k+1)$ adalah hasil kali dua bilangan bulat berurutan. Salah satu dari dua bilangan berurutan pasti genap. Oleh karena itu, hasil kali $k(k+1)$ selalu genap.

Karena $k(k+1)$ selalu genap, maka $k(k+1)$ dapat ditulis sebagai $2j$ untuk suatu bilangan bulat $j$.

Maka, $3(k^2 + k) = 3(2j) = 6j$.
Ini menunjukkan bahwa $3(k^2 + k)$ adalah kelipatan 6.

Sekarang kita kembali ke ekspresi awal:
$(k+1)^3 + 5(k+1) = 6m + 3(k^2 + k) + 6$
$= 6m + 6j + 6$
$= 6(m + j + 1)$

Karena $m$, $j$, dan $1$ adalah bilangan bulat, maka $(m + j + 1)$ juga merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, $(k+1)^3 + 5(k+1)$ adalah kelipatan 6.

**Kesimpulan:**
Karena $P(1)$ benar dan jika $P(k)$ benar maka $P(k+1)$ juga benar, maka berdasarkan prinsip induksi matematis, pernyataan $n^3 + 5n$ adalah kelipatan 6 untuk setiap bilangan asli $n$ adalah benar.