Misalkan f(x)=akar(x(4x+5))-akar(4x^2-3) Tentukan lim

Nilai limitnya adalah 5/4.

Pembahasan

Untuk menentukan $\lim_{x \to \infty} f(x)$ di mana $f(x) = \sqrt{x(4x+5)} - \sqrt{4x^2-3}$, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut terlebih dahulu.

$f(x) = \sqrt{4x^2+5x} - \sqrt{4x^2-3}$

Untuk menyelesaikan limit saat $x \to \infty$, kita bisa mengalikan dengan bentuk sekawan:

$f(x) = \frac{(\sqrt{4x^2+5x} - \sqrt{4x^2-3})(\sqrt{4x^2+5x} + \sqrt{4x^2-3})}{\sqrt{4x^2+5x} + \sqrt{4x^2-3}}$

$f(x) = \frac{(4x^2+5x) - (4x^2-3)}{\sqrt{4x^2+5x} + \sqrt{4x^2-3}}$

$f(x) = \frac{4x^2+5x - 4x^2+3}{\sqrt{4x^2+5x} + \sqrt{4x^2-3}}$

$f(x) = \frac{5x+3}{\sqrt{4x^2+5x} + \sqrt{4x^2-3}}$

Sekarang kita ambil limit saat $x \to \infty$. Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (atau $\sqrt{x^2}$ yang sama dengan $x$ karena $x \to \infty$).

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x+3}{\sqrt{4x^2+5x} + \sqrt{4x^2-3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x}+\frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}} + \sqrt{\frac{4x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{5+\frac{3}{x}}{\sqrt{4+\frac{5}{x}} + \sqrt{4-\frac{3}{x^2}}}$

Saat $x \to \infty$, $\frac{3}{x}$, $\frac{5}{x}$, dan $\frac{3}{x^2}$ semuanya mendekati 0.

$= \frac{5+0}{\sqrt{4+0} + \sqrt{4-0}} = \frac{5}{\sqrt{4} + \sqrt{4}} = \frac{5}{2 + 2} = \frac{5}{4}$

Jadi, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{5}{4}$