Misalkan fungsi f didefinisikan oleh: f(x)=(x) x+2, { jika

Daerah Asal = R, Daerah Hasil = R. Grafik terdiri dari garis lurus y=x+2 untuk x<=-1 dan parabola y=x^2 untuk x>-1.

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai:
   x + 2,  jika x <= -1
f(x) = 
   x^2,    jika x > -1

1. Daerah Asal (Domain)
Daerah asal suatu fungsi adalah himpunan semua nilai input (x) yang mungkin untuk fungsi tersebut. Dalam definisi fungsi ini, kita memiliki dua kondisi untuk x: x <= -1 dan x > -1. Kedua kondisi ini mencakup semua bilangan real. Oleh karena itu, daerah asal fungsi f adalah himpunan semua bilangan real, yang dapat ditulis sebagai R atau (-∞, ∞).

2. Daerah Hasil (Range)
Daerah hasil adalah himpunan semua nilai output (f(x)) yang mungkin. Kita perlu menganalisis daerah hasil untuk setiap bagian definisi fungsi:

   a. Untuk x <= -1, f(x) = x + 2.
      Ketika x = -1, f(x) = -1 + 2 = 1.
      Ketika x mendekati -∞, f(x) = x + 2 juga mendekati -∞.
      Jadi, untuk bagian ini, daerah hasilnya adalah (-∞, 1].

   b. Untuk x > -1, f(x) = x^2.
      Ketika x mendekati -1 dari sisi kanan (misalnya -0.9, -0.5, 0), f(x) = x^2 akan mendekati (-1)^2 = 1.
      Ketika x mendekati ∞, f(x) = x^2 juga mendekati ∞.
      Nilai minimum untuk x^2 terjadi ketika x=0 (yang termasuk dalam domain x > -1), yaitu f(0) = 0^2 = 0.
      Jadi, untuk bagian ini, daerah hasilnya adalah [0, ∞).

Untuk mendapatkan daerah hasil keseluruhan dari f(x), kita gabungkan daerah hasil dari kedua bagian tersebut: (-∞, 1] ∪ [0, ∞).
Irisan dari kedua interval ini adalah [0, ∞). Namun, kita harus memperhatikan nilai pada batas x = -1.
Ketika x = -1, f(x) = 1.
Ketika x > -1, nilai f(x) = x^2 dimulai dari nilai yang mendekati 1 (tetapi tidak termasuk 1 jika kita hanya melihat x mendekati -1 dari kanan) dan naik hingga ∞. Namun, karena x=0 ada di domain x>-1, dan f(0)=0, maka nilai 0 termasuk dalam daerah hasil.

Jadi, daerah hasil gabungan adalah nilai-nilai y yang mencakup (-∞, 1] (dari bagian pertama) dan [0, ∞) (dari bagian kedua). Irisan dari kedua ini adalah [0, ∞). Namun, kita perlu memastikan tidak ada 'celah'.

Nilai f(x) untuk x <= -1 adalah dari -∞ hingga 1.
Nilai f(x) untuk x > -1 adalah dari 0 hingga ∞.

Ketika kita menggabungkan kedua rentang ini, kita mendapatkan (-∞, 1] ∪ [0, ∞). Gabungan dari kedua himpunan ini adalah seluruh bilangan real, R, atau (-∞, ∞).

Mari kita periksa kembali:
- Jika x <= -1, nilai f(x) adalah x+2. Rentangnya adalah (-∞, 1].
- Jika x > -1, nilai f(x) adalah x^2. Rentangnya adalah (0, ∞) jika kita mengecualikan x=0, tetapi karena x=0 ada di domain ini, rentangnya adalah [0, ∞).

Gabungan dari (-∞, 1] dan [0, ∞) adalah (-∞, ∞).

3. Sketsa Grafik
Untuk membuat sketsa grafik:
- Gambar garis bilangan real untuk sumbu x dan sumbu y.
- Untuk bagian f(x) = x + 2 (ketika x <= -1):
Gambar garis lurus. Titik pada x = -1 adalah f(-1) = -1 + 2 = 1. Jadi, titik (-1, 1) adalah titik akhir yang terisi (bulat penuh). Garis ini menurun ke kiri.
- Untuk bagian f(x) = x^2 (ketika x > -1):
Gambar kurva parabola. Titik pada x = -1 (tetapi tidak termasuk) akan mendekati (-1)^2 = 1. Jadi, kita tandai titik (-1, 1) dengan bulatan kosong. Parabola ini memiliki titik puncak di (0, 0) dan terbuka ke atas.

Grafik akan terdiri dari separuh garis lurus yang berakhir di (-1, 1) dan separuh parabola yang dimulai dari titik yang mendekati (-1, 1) (bulatan kosong), melewati (0, 0), dan naik ke kanan.

Jadi, Daerah Asal f = R = (-∞, ∞).
Daerah Hasil f = R = (-∞, ∞).

Sketsa Grafik:
Sumbu x dan y.
Dari kiri, sebuah garis lurus dimulai dari bawah, naik hingga titik (-1, 1) dengan titik terisi.
Dari titik (-1, 1) (dengan titik kosong), sebuah kurva parabola dimulai, turun ke titik (0, 0), lalu naik lagi ke kanan atas.

Kesimpulan:
Daerah Asal f = R
Daerah Hasil f = R