Tentukan volume maksimum sebuah tabung yang terletak di

Volume maksimum tabung adalah 4πR^3/(3√3).

Pembahasan

Untuk menentukan volume maksimum tabung di dalam bola berjari-jari R, kita dapat menggunakan kalkulus. Misalkan jari-jari tabung adalah r dan tingginya adalah h. Volume tabung adalah V = πr^2h. Karena tabung berada di dalam bola, kita memiliki hubungan antara r, h, dan R. Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang dibentuk oleh jari-jari bola, jari-jari tabung, dan setengah tinggi tabung, kita dapatkan R^2 = r^2 + (h/2)^2. Dari sini, kita bisa ekspresikan r^2 sebagai r^2 = R^2 - (h/2)^2. Substitusikan ini ke dalam rumus volume: V(h) = π(R^2 - (h/2)^2)h = π(R^2h - h^3/4). Untuk mencari volume maksimum, kita turunkan V terhadap h dan setel turunannya sama dengan nol: dV/dh = π(R^2 - 3h^2/4) = 0. Ini memberikan R^2 = 3h^2/4, sehingga h^2 = 4R^2/3 dan h = 2R/√3. Sekarang kita cari r^2 = R^2 - (1/4)(4R^2/3) = R^2 - R^2/3 = 2R^2/3, sehingga r = R√(2/3). Volume maksimumnya adalah V = π(2R^2/3)(2R/√3) = 4πR^3/(3√3).