Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathTrigonometri
Nilai cos x yang memenuhi persamaan (3)/(tan ^(2) x-2 tan
Pertanyaan
Nilai cos x yang memenuhi persamaan (3)/(tan ^(2) x-2 tan x)=1 pada interval 0 <= x <= 90 adalah ...
Solusi
Verified
Nilai cos x adalah sqrt(10) / 10.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan persamaan \((3)/(tan ^(2) x-2 tan x)=1\) pada interval \(0 <= x <= 90\) derajat, kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut terlebih dahulu. Mengalikan kedua sisi dengan \(tan^2 x - 2 tan x\), kita mendapatkan: \(3 = tan^2 x - 2 tan x\) Memindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam \(tan x\): \(tan^2 x - 2 tan x - 3 = 0\) Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Misalkan \(y = tan x\), maka persamaannya menjadi \(y^2 - 2y - 3 = 0\). Faktorkan persamaan kuadrat: \((y - 3)(y + 1) = 0\) Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk \(tan x\): 1. \(y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow tan x = 3\) 2. \(y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow tan x = -1\) Sekarang kita perlu mempertimbangkan interval \(0 <= x <= 90\) derajat. Dalam interval ini, nilai \(tan x\) selalu non-negatif. Untuk \(tan x = 3\): Nilai \(tan x\) positif di kuadran pertama (antara 0 dan 90 derajat). Jadi, ada solusi di interval ini. Untuk \(tan x = -1\): Nilai \(tan x\) negatif di kuadran kedua dan keempat. Tidak ada solusi di interval \(0 <= x <= 90\) derajat. Karena kita mencari nilai \(cos x\), kita perlu menggunakan identitas \(1 + tan^2 x = sec^2 x\) dan \(sec x = 1/cos x\). Jika \(tan x = 3\): \(sec^2 x = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10\) \(sec x = sqrt(10)\) (Karena x di kuadran pertama, sec x positif) \(cos x = 1 / sec x = 1 / sqrt(10)\) Untuk merasionalkan penyebutnya: \(cos x = (1 * sqrt(10)) / ( sqrt(10) * sqrt(10)) = sqrt(10) / 10\) Jadi, nilai \(cos x\) yang memenuhi persamaan pada interval \(0 <= x <= 90\) adalah \( sqrt(10) / 10\).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Identitas Trigonometri, Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?