Nilai dari integral 0 1 (12x akar(3x^2+1)) dx=....

28/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int_0^1 (12x \sqrt{3x^2+1}) dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan $u = 3x^2+1$. Maka, turunannya adalah $du = 6x dx$.\nKarena kita memiliki $12x dx$ di dalam integral, kita dapat menulisnya sebagai $2 \cdot (6x dx)$, sehingga substitusinya menjadi $2 du$.\nBatas integrasi juga perlu diubah: \nKetika $x=0$, $u = 3(0)^2+1 = 1$. \nKetika $x=1$, $u = 3(1)^2+1 = 4$.\nIntegral sekarang menjadi $\int_1^4 (2 \sqrt{u}) du$.\nIni sama dengan $2 \int_1^4 u^{1/2} du$.\nIntegral dari $u^{1/2}$ adalah $\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}$.\nJadi, kita memiliki $2 \cdot [\frac{2}{3}u^{3/2}]_1^4$.\nEvaluasi pada batas atas dan bawah: $2 \cdot (\frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2})$.\n$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.\n$1^{3/2} = 1$.\nJadi, $2 \cdot (\frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1)) = 2 \cdot (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cdot (\frac{14}{3}) = \frac{28}{3}$.