Nilai dari lim _(x -> 0) (sin (x-2))/(x^(2)-4)=.. a. 1 / 4

1/4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x-2)}{x^2-4} \), kita dapat langsung mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam fungsi karena tidak menghasilkan bentuk tak tentu.
Substitusi x = 0:
\( \frac{\sin(0-2)}{0^2-4} = \frac{\sin(-2)}{-4} \)
Kita tahu bahwa \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), sehingga \( \sin(-2) = -\sin(2) \).
Jadi, limitnya adalah \( \frac{-\sin(2)}{-4} = \frac{\sin(2)}{4} \).

Namun, jika kita perhatikan soal dengan seksama, seharusnya limitnya adalah \( \lim_{x \to 2) \) agar penyebutnya menjadi nol dan kita bisa menggunakan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Mari kita asumsikan soal yang dimaksud adalah \( \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x^2-4} \).
Kita bisa memfaktorkan penyebutnya menjadi \( (x-2)(x+2) \).
\( \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{(x-2)(x+2)} \)
Kita tahu bahwa \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \). Misalkan \( u = x-2 \). Ketika \( x \to 2 \), maka \( u \to 0 \).
Sehingga, \( \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x-2} \cdot \frac{1}{x+2} \)
\( = 1 \cdot \frac{1}{2+2} \)
\( = 1 \cdot \frac{1}{4} \)
\( = \frac{1}{4} \)

Jika kita kembali ke soal awal \( \lim_{x \to 0) (sin (x-2))/(x^(2)-4) \), maka substitusi langsung memberikan \( \frac{\sin(-2)}{-4} = \frac{-\sin(2)}{-4} = \frac{\sin(2)}{4} \). Nilai ini tidak ada di pilihan.

Dengan asumsi ada kesalahan pengetikan pada soal dan seharusnya \( \lim_{x \to 2 \text{ atau }} \lim_{x \to -2 \text{ atau }} \lim_{x \to 0 \text{ dengan } \sin(2x) \text{ atau } \sin(x)} \), mari kita periksa opsi.
Jika kita tetap menggunakan \( x \to 0 \), hasilnya \( \frac{\sin(2)}{4} \) yang tidak ada di pilihan.
Jika kita gunakan \( x \to 2 \), hasilnya \( 1/4 \) (Opsi a).

Karena ada opsi \( 1/4 \), sangat mungkin maksud soal adalah \( \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x^2-4} \).