Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Nilai dari lim x->0 (tan 3xcos 4x-tan 3x)/12x^3 adalah ...
Pertanyaan
Nilai dari lim x->0 (tan 3xcos 4x-tan 3x)/12x^3 adalah ...
Solusi
Verified
-2
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan sifat-sifat limit dan aturan L'Hopital jika diperlukan. Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x \cos 4x - \tan 3x}{12x^3}$ Pertama, kita faktorkan $\tan 3x$ dari pembilang: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (\cos 4x - 1)}{12x^3}$ Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$. Juga, kita tahu identitas trigonometri $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$, sehingga $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$. Dengan mengganti $2\theta$ dengan $4x$, maka $2x = \theta$, sehingga $1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x$. Substitusikan identitas ini ke dalam limit: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (2\sin^2 2x)}{12x^3}$ Kita bisa memecah limit ini menjadi beberapa bagian: $\lim_{x \to 0} \frac{2}{12} \cdot \frac{\tan 3x}{x} \cdot \frac{\sin^2 2x}{x^2} \cdot \frac{1}{x}$ Ini masih belum tepat karena ada \(x^3\) di penyebut dan \(\sin^2 2x\) yang butuh \(x^2\). Mari kita susun ulang: $\lim_{x \to 0} \frac{2 \tan 3x \sin^2 2x}{12x^3}$ $\frac{2}{12} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \cdot \frac{\sin^2 2x}{x^2}$ $\frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \cdot \left(\frac{\sin 2x}{x}\right)^2$ Kita tahu $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$. Maka: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} = 3$ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$ Jadi, limitnya menjadi: $\frac{1}{6} \cdot (3) \cdot (2)^2$ $\frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4$ $\frac{12}{6}$ $2$ Mari kita cek ulang dengan aturan L'Hopital jika ada keraguan. Bentuk awal limit adalah $\frac{\tan 0 \cos 0 - \tan 0}{12(0)^3} = \frac{0 \cdot 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}$, jadi bisa menggunakan L'Hopital. f(x) = tan(3x)cos(4x) - tan(3x) g(x) = 12x^3 f'(x) = [ (3sec^2(3x))cos(4x) + tan(3x)(-4sin(4x)) ] - 3sec^2(3x) g'(x) = 36x^2 Limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{3\cos 4x \sec^2 3x - 4\tan 3x \sin 4x - 3\sec^2 3x}{36x^2}$ Substitusi x=0: $\frac{3\cos 0 \sec^2 0 - 4\tan 0 \sin 0 - 3\sec^2 0}{36(0)^2} = \frac{3(1)(1) - 4(0)(0) - 3(1)}{0} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}$ Masih bentuk 0/0, gunakan L'Hopital lagi. Ini akan menjadi sangat rumit. Mari kita kembali ke bentuk yang difaktorkan: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (\cos 4x - 1)}{12x^3}$ Kita gunakan ekspansi Taylor untuk $\tan 3x$ dan $(\cos 4x - 1)$ di sekitar x=0: $\tan u \approx u$ untuk u kecil. $\cos u \approx 1 - \frac{u^2}{2}$ untuk u kecil. Jadi, $\tan 3x \approx 3x$ $\cos 4x \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - \frac{16x^2}{2} = 1 - 8x^2$ Maka, $\cos 4x - 1 \approx (1 - 8x^2) - 1 = -8x^2$ Substitusikan kembali ke limit: $\lim_{x \to 0} \frac{(3x)(-8x^2)}{12x^3}$ $\lim_{x \to 0} \frac{-24x^3}{12x^3}$ $\lim_{x \to 0} -2$ $=-2$ Ada perbedaan hasil. Mari kita periksa kembali cara pemecahan awal. $\frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \cdot \left(\frac{\sin 2x}{x}\right)^2$ Ini sudah benar. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} = 3$ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$ $\frac{1}{6} \cdot (3) \cdot (2)^2 = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{6} = 2$. Hasilnya 2. Mari kita lihat ekspansi Taylor untuk $(\cos 4x - 1)$ lagi. $1 - \cos(u) = 2\sin^2(u/2)$. $1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x)$. Limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (2\sin^2 2x)}{12x^3}$. Kita pecah seperti ini: $2/12 imes \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 2x}{x^2} \times \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$. Ini tetap salah. Susun ulang: $\frac{2}{12} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{\sin^2 2x}{(2x)^2} \cdot (2x)^2 \cdot \frac{1}{x^3}$ $\frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{\sin^2 2x}{(2x)^2} \cdot \frac{(3x)(4x^2)}{x^3}$ $\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{12x^3}{x^3}$ $\frac{1}{6} \cdot 12 = 2$. Masih 2. Periksa ekspansi Taylor untuk $\tan 3x$. $\tan(u) = u + \frac{u^3}{3} + ...$ $\tan 3x = 3x + \frac{(3x)^3}{3} + ... = 3x + 9x^3 + ...$ $\cos 4x - 1 = -8x^2 + O(x^4)$ $\tan 3x (\cos 4x - 1) = (3x + 9x^3)( -8x^2 + O(x^4))$ $= -24x^3 - 72x^5 + O(x^5) + O(x^7)$ $= -24x^3 + O(x^5)$ Jadi, $\frac{\tan 3x (\cos 4x - 1)}{12x^3} = \frac{-24x^3 + O(x^5)}{12x^3} = -2 + O(x^2)$ Saat $x \to 0$, limitnya adalah -2. Jadi, metode ekspansi Taylor memberikan hasil -2. Mari kita periksa kembali pemecahan limit awal. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (\cos 4x - 1)}{12x^3}$ Kita perlu pembagi $x$ untuk $\tan 3x$ dan pembagi $x^2$ untuk $\sin^2 2x$. Total $x^3$ sudah ada. $\frac{1}{12} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \frac{\cos 4x - 1}{x^2}$ $\frac{1}{12} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x}{x^2}$ $\frac{1}{12} \cdot (3) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x}{x^2}$ $\frac{3}{12} \cdot (-2) \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 2x}{x^2}$ $\frac{1}{4} \cdot (-2) \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 2x}{x}\right)^2$ $\frac{-1}{2} \cdot (2)^2$ $\frac{-1}{2} \cdot 4 = -2$. Ini sesuai dengan ekspansi Taylor. Jadi jawabannya adalah -2. Soal ini adalah limit fungsi trigonometri. Bentuk limit adalah 0/0. Kita gunakan identitas trigonometri $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$. Sehingga, $1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x)$. Limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) (2\sin^2(2x))}{12x^3}$. Kita bisa memisahkan limit ini menjadi: $\frac{2}{12} \times \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2}$ Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(au)}{bu} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(au)}{bu} = \frac{a}{b}$. Maka: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3$ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$ Jadi, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2} = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\right)^2 = (2)^2 = 4$. Substitusikan kembali ke persamaan limit: $\frac{1}{6} \times 3 \times 4 = \frac{12}{6} = 2$. Masih ada perbedaan. Mari kita periksa lagi pemecahan: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (\cos 4x - 1)}{12x^3}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \cdot \frac{\cos 4x - 1}{x^2} \cdot \frac{1}{12}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{-2\sin^2 2x}{x^2} \cdot \frac{1}{12}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{-2\sin^2 2x}{(2x)^2} \cdot (2x)^2 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{12}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{-2\sin^2 2x}{(2x)^2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{12}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{\sin^2 2x}{(2x)^2} \cdot \frac{3 \cdot (-2) \cdot 4}{12}$ $= 1 \cdot 1 \cdot \frac{-24}{12} = -2$. Metode ini benar dan menghasilkan -2. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Identifikasi bentuk limit: $\frac{0}{0}$. 2. Faktorkan $\tan 3x$: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (\cos 4x - 1)}{12x^3}$. 3. Gunakan identitas $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$, sehingga $1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x)$. Limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (2\sin^2 2x)}{12x^3}$. 4. Pisahkan limit menjadi bentuk standar $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(au)}{bu} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(au)}{bu} = \frac{a}{b}$. Limit = $\frac{2}{12} \times \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 2x}{x^2}$ = $\frac{1}{6} \times \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} \times \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\right)^2$ 5. Hitung nilai limit standar: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{x} = 3$ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$ 6. Substitusikan nilai-nilai tersebut: $\frac{1}{6} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{6} \times 3 \times 4 = \frac{12}{6} = 2$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Trigonometri Bentuk 0 0
Apakah jawaban ini membantu?