Nilai dari lim x->1 tan (x - 1) sin (1 - akar(x)) adalah

0

Pembahasan

Kita perlu menghitung nilai dari limit:
lim (x→1) [tan(x - 1) * sin(1 - √x)]

Saat x mendekati 1, (x - 1) mendekati 0, dan (1 - √x) juga mendekati 0.
Kita bisa menggunakan substitusi y = x - 1. Maka, saat x → 1, y → 0. Dan x = y + 1.
Sehingga 1 - √x = 1 - √(y + 1).

Limitnya menjadi:
lim (y→0) [tan(y) * sin(1 - √(y + 1))]

Kita tahu bahwa untuk nilai y yang kecil, tan(y) ≈ y.
Sekarang kita perlu menyederhanakan sin(1 - √(y + 1)).
Perhatikan bahwa 1 - √(y + 1) = (1 - (y + 1)) / (1 + √(y + 1)) = -y / (1 + √(y + 1)).

Jadi, limitnya menjadi:
lim (y→0) [y * sin(-y / (1 + √(y + 1)))]

Kita juga tahu bahwa untuk nilai z yang kecil, sin(z) ≈ z.
Di sini, z = -y / (1 + √(y + 1)). Saat y → 0, z → 0.

Maka, sin(-y / (1 + √(y + 1))) ≈ -y / (1 + √(y + 1)).

Limitnya menjadi:
lim (y→0) [y * (-y / (1 + √(y + 1)))]
lim (y→0) [-y^2 / (1 + √(y + 1))]

Substitusikan y = 0:
= -0^2 / (1 + √(0 + 1))
= 0 / (1 + √1)
= 0 / (1 + 1)
= 0 / 2
= 0

Cara lain menggunakan limit standar:
Kita tahu bahwa lim (θ→0) tan(θ)/θ = 1 dan lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1.

lim (x→1) [tan(x - 1) * sin(1 - √x)]
= lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (1 - √x)) * (1 - √x) ]

Kita perlu menyederhanakan (1 - √x).
1 - √x = (1 - √x)(1 + √x) / (1 + √x) = (1 - x) / (1 + √x)
Karena x - 1 = -(1 - x), maka 1 - √x = -(x - 1) / (1 + √x).

Jadi, limitnya menjadi:
= lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (-(x - 1) / (1 + √x))) * (-(x - 1) / (1 + √x)) ]

Perhatikan bahwa sin(1 - √x) / (1 - √x) akan mendekati 1 saat x mendekati 1.
Dan (1 - √x) / (x - 1) = -(x - 1) / (x - 1) * 1/(1 + √x) = -1 / (1 + √x).

Limitnya menjadi:
= lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (1 - √x)) * (1 - √x) ]
= lim (x→1) [ 1 * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (1 - √x)) * (-(x - 1) / (1 + √x)) ]

Ini masih belum benar.
Mari kita gunakan bentuk yang lebih sederhana:
lim (x→1) tan(x - 1) * sin(1 - √x)

Gunakan ekspansi Taylor di sekitar x = 1:
tan(u) ≈ u untuk u kecil
sin(v) ≈ v untuk v kecil

Ketika x → 1, u = x - 1 → 0
Ketika x → 1, v = 1 - √x → 0

1 - √x = (1 - x) / (1 + √x)

Jadi limitnya adalah:
lim (x→1) (x - 1) * ( (1 - x) / (1 + √x) )
= lim (x→1) (x - 1) * ( -(x - 1) / (1 + √x) )
= lim (x→1) -(x - 1)^2 / (1 + √x)

Saat x → 1, (x - 1)^2 → 0, dan (1 + √x) → 2.
Jadi, hasilnya adalah -0 / 2 = 0.

Ada kesalahan dalam pemikiran sebelumnya. Mari kita fokus pada bentuk sin(1 - √x) dan x - 1.

Kita tahu lim (u->0) sin(u)/u = 1.
Kita juga tahu lim (u->0) tan(u)/u = 1.

Perhatikan bagian sin(1 - √x).
1 - √x = -(√x - 1)
Kita bisa mengalikan dengan sekawannya:
1 - √x = -(x - 1) / (√x + 1)

Limitnya menjadi:
lim (x→1) [tan(x - 1) * sin(1 - √x)]
= lim (x→1) [ tan(x - 1) * ( sin(1 - √x) / (1 - √x) ) * (1 - √x) ]

Kita tahu lim (x→1) sin(1 - √x) / (1 - √x) = 1 (karena 1 - √x → 0 saat x → 1).

Jadi, limitnya menjadi:
= lim (x→1) [ tan(x - 1) * 1 * (1 - √x) ]
= lim (x→1) [ tan(x - 1) * (-(x - 1) / (√x + 1)) ]

Kita tahu lim (x→1) tan(x - 1) / (x - 1) = 1.

Jadi, limitnya menjadi:
= lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (-(x - 1) / (√x + 1)) ]
= lim (x→1) [ 1 * (x - 1) * (-(x - 1) / (√x + 1)) ]
= lim (x→1) [ -(x - 1)^2 / (√x + 1) ]

Saat x mendekati 1:
Pembilang: -(1 - 1)^2 = -0^2 = 0
Penyebut: √(1) + 1 = 1 + 1 = 2

Hasil limit = 0 / 2 = 0.

Jadi, nilai dari lim x→1 tan (x - 1) sin (1 - √x) adalah 0.