Kelas SmamathKalkulus
Nilai dari lim x->1 tan (x - 1) sin (1 - akar(x)) adalah
Pertanyaan
Berapakah nilai dari lim x→1 tan (x - 1) sin (1 - √x)?
Solusi
Verified
0
Pembahasan
Kita perlu menghitung nilai dari limit: lim (x→1) [tan(x - 1) * sin(1 - √x)] Saat x mendekati 1, (x - 1) mendekati 0, dan (1 - √x) juga mendekati 0. Kita bisa menggunakan substitusi y = x - 1. Maka, saat x → 1, y → 0. Dan x = y + 1. Sehingga 1 - √x = 1 - √(y + 1). Limitnya menjadi: lim (y→0) [tan(y) * sin(1 - √(y + 1))] Kita tahu bahwa untuk nilai y yang kecil, tan(y) ≈ y. Sekarang kita perlu menyederhanakan sin(1 - √(y + 1)). Perhatikan bahwa 1 - √(y + 1) = (1 - (y + 1)) / (1 + √(y + 1)) = -y / (1 + √(y + 1)). Jadi, limitnya menjadi: lim (y→0) [y * sin(-y / (1 + √(y + 1)))] Kita juga tahu bahwa untuk nilai z yang kecil, sin(z) ≈ z. Di sini, z = -y / (1 + √(y + 1)). Saat y → 0, z → 0. Maka, sin(-y / (1 + √(y + 1))) ≈ -y / (1 + √(y + 1)). Limitnya menjadi: lim (y→0) [y * (-y / (1 + √(y + 1)))] lim (y→0) [-y^2 / (1 + √(y + 1))] Substitusikan y = 0: = -0^2 / (1 + √(0 + 1)) = 0 / (1 + √1) = 0 / (1 + 1) = 0 / 2 = 0 Cara lain menggunakan limit standar: Kita tahu bahwa lim (θ→0) tan(θ)/θ = 1 dan lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1. lim (x→1) [tan(x - 1) * sin(1 - √x)] = lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (1 - √x)) * (1 - √x) ] Kita perlu menyederhanakan (1 - √x). 1 - √x = (1 - √x)(1 + √x) / (1 + √x) = (1 - x) / (1 + √x) Karena x - 1 = -(1 - x), maka 1 - √x = -(x - 1) / (1 + √x). Jadi, limitnya menjadi: = lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (-(x - 1) / (1 + √x))) * (-(x - 1) / (1 + √x)) ] Perhatikan bahwa sin(1 - √x) / (1 - √x) akan mendekati 1 saat x mendekati 1. Dan (1 - √x) / (x - 1) = -(x - 1) / (x - 1) * 1/(1 + √x) = -1 / (1 + √x). Limitnya menjadi: = lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (1 - √x)) * (1 - √x) ] = lim (x→1) [ 1 * (x - 1) * (sin(1 - √x) / (1 - √x)) * (-(x - 1) / (1 + √x)) ] Ini masih belum benar. Mari kita gunakan bentuk yang lebih sederhana: lim (x→1) tan(x - 1) * sin(1 - √x) Gunakan ekspansi Taylor di sekitar x = 1: tan(u) ≈ u untuk u kecil sin(v) ≈ v untuk v kecil Ketika x → 1, u = x - 1 → 0 Ketika x → 1, v = 1 - √x → 0 1 - √x = (1 - x) / (1 + √x) Jadi limitnya adalah: lim (x→1) (x - 1) * ( (1 - x) / (1 + √x) ) = lim (x→1) (x - 1) * ( -(x - 1) / (1 + √x) ) = lim (x→1) -(x - 1)^2 / (1 + √x) Saat x → 1, (x - 1)^2 → 0, dan (1 + √x) → 2. Jadi, hasilnya adalah -0 / 2 = 0. Ada kesalahan dalam pemikiran sebelumnya. Mari kita fokus pada bentuk sin(1 - √x) dan x - 1. Kita tahu lim (u->0) sin(u)/u = 1. Kita juga tahu lim (u->0) tan(u)/u = 1. Perhatikan bagian sin(1 - √x). 1 - √x = -(√x - 1) Kita bisa mengalikan dengan sekawannya: 1 - √x = -(x - 1) / (√x + 1) Limitnya menjadi: lim (x→1) [tan(x - 1) * sin(1 - √x)] = lim (x→1) [ tan(x - 1) * ( sin(1 - √x) / (1 - √x) ) * (1 - √x) ] Kita tahu lim (x→1) sin(1 - √x) / (1 - √x) = 1 (karena 1 - √x → 0 saat x → 1). Jadi, limitnya menjadi: = lim (x→1) [ tan(x - 1) * 1 * (1 - √x) ] = lim (x→1) [ tan(x - 1) * (-(x - 1) / (√x + 1)) ] Kita tahu lim (x→1) tan(x - 1) / (x - 1) = 1. Jadi, limitnya menjadi: = lim (x→1) [ (tan(x - 1) / (x - 1)) * (x - 1) * (-(x - 1) / (√x + 1)) ] = lim (x→1) [ 1 * (x - 1) * (-(x - 1) / (√x + 1)) ] = lim (x→1) [ -(x - 1)^2 / (√x + 1) ] Saat x mendekati 1: Pembilang: -(1 - 1)^2 = -0^2 = 0 Penyebut: √(1) + 1 = 1 + 1 = 2 Hasil limit = 0 / 2 = 0. Jadi, nilai dari lim x→1 tan (x - 1) sin (1 - √x) adalah 0.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Trigonometri Tak Hingga, Sifat Sifat Limit Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?