Command Palette

Search for a command to run...

Kelas UniversitasKelas 11Kelas 12mathKalkulus Diferensial

Nilai dari lim x->4 (x^3-3x^2-3x-4)/(x^2-4x) adalah ....

Pertanyaan

Berapakah nilai dari lim x->4 (x^3-3x^2-3x-4)/(x^2-4x)?

Solusi

Verified

Nilai dari lim x->4 (x^3-3x^2-3x-4)/(x^2-4x) adalah 21/4.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\lim_{x\to 4} \frac{x^3 - 3x^2 - 3x - 4}{x^2 - 4x}$, pertama kita coba substitusikan $x=4$ ke dalam fungsi: Pembilang: $4^3 - 3(4^2) - 3(4) - 4 = 64 - 3(16) - 12 - 4 = 64 - 48 - 12 - 4 = 16 - 12 - 4 = 4 - 4 = 0$. Penyebut: $4^2 - 4(4) = 16 - 16 = 0$. Karena hasilnya adalah $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan metode lain seperti faktorisasi atau Aturan L'Hôpital. **Metode Faktorisasi:** Kita tahu bahwa $x=4$ adalah akar dari pembilang dan penyebut, jadi $(x-4)$ adalah faktor dari keduanya. Faktorisasi penyebut: $x^2 - 4x = x(x-4)$ Faktorisasi pembilang $x^3 - 3x^2 - 3x - 4$. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau mencoba mencari akar lainnya. Karena $x=4$ adalah akar, kita tahu $(x-4)$ adalah faktornya. ``` x^2 + x + 1 ________________ x - 4 | x^3 - 3x^2 - 3x - 4 -(x^3 - 4x^2) __________ x^2 - 3x -(x^2 - 4x) _________ x - 4 -(x - 4) _______ 0 ``` Jadi, pembilang dapat difaktorkan menjadi $(x-4)(x^2+x+1)$. Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit: $$ \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(x^2+x+1)}{x(x-4)} $$ Kita bisa membatalkan faktor $(x-4)$ karena $x \to 4$ berarti $x \neq 4$: $$ \lim_{x\to 4} \frac{x^2+x+1}{x} $$ Sekarang substitusikan $x=4$: $$ \frac{4^2+4+1}{4} = \frac{16+4+1}{4} = \frac{21}{4} $$ **Metode Aturan L'Hôpital:** Karena substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah: Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 3x - 4) = 3x^2 - 6x - 3$. Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(x^2 - 4x) = 2x - 4$. Sekarang hitung limit dari hasil turunan: $$ \lim_{x\to 4} \frac{3x^2 - 6x - 3}{2x - 4} $$ Substitusikan $x=4$: $$ \frac{3(4^2) - 6(4) - 3}{2(4) - 4} = \frac{3(16) - 24 - 3}{8 - 4} = \frac{48 - 24 - 3}{4} = \frac{24 - 3}{4} = \frac{21}{4} $$ Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi
Section: Aturan L Hopital, Faktorisasi

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...