Nilai dari lim x -> 5 (2x^2-13x+15)/(x^3-125) adalah ....

7/75

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode L'Hopital atau faktorisasi karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
Metode Faktorisasi:
Pembilang: 2x^2 - 13x + 15. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2*15=30 dan jika dijumlahkan menghasilkan -13. Bilangan tersebut adalah -3 dan -10. Maka, 2x^2 - 10x - 3x + 15 = 2x(x-5) - 3(x-5) = (2x-3)(x-5).
Penyebut: x^3 - 125 adalah bentuk selisih kubik, a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2). Jadi, x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x-5)(x^2 + 5x + 25).
Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->5 [(2x-3)(x-5)] / [(x-5)(x^2 + 5x + 25)]
Kita bisa membatalkan (x-5) karena x mendekati 5 tetapi tidak sama dengan 5.
lim x->5 (2x-3) / (x^2 + 5x + 25)
Sekarang substitusikan x = 5:
(2*5 - 3) / (5^2 + 5*5 + 25) = (10 - 3) / (25 + 25 + 25) = 7 / 75.
Jadi, nilai limitnya adalah 7/75.