Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Nilai dari lim x->tak hingga akar(x+5)-akar(2x-1) adalah
Pertanyaan
Berapakah nilai dari lim x->tak hingga akar(x+5)-akar(2x-1)?
Solusi
Verified
-∞
Pembahasan
Untuk menghitung nilai dari \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5} - \sqrt{2x-1})\), kita perlu menggunakan teknik perkalian dengan konjugatnya. Langkah 1: Kalikan dengan konjugat dari ekspresi tersebut. Konjugat dari \(\sqrt{x+5} - \sqrt{2x-1}\) adalah \(\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}\). \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5} - \sqrt{2x-1}) \times \frac{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}}\) Langkah 2: Sederhanakan pembilangnya menggunakan rumus \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). \(\lim_{x \to \infty} \frac{(x+5) - (2x-1)}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x+5 - 2x+1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{-x+6}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}}\) Langkah 3: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu \(\sqrt{x}\) atau \(x^{1/2}\). Untuk menyederhanakan penyebut, kita bagi setiap suku di dalam akar dengan x: \(\sqrt{x+5} = \sqrt{x(1+5/x)} = \sqrt{x}\sqrt{1+5/x}\) \(\sqrt{2x-1} = \sqrt{x(2-1/x)} = \sqrt{x}\sqrt{2-1/x}\) Jadi, ekspresi menjadi: \(\lim_{x \to \infty} \frac{-x+6}{\sqrt{x}\sqrt{1+5/x} + \sqrt{x}\sqrt{2-1/x}}\) Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt{x}\) (ini sedikit berbeda dari biasanya karena kita memiliki \(\sqrt{x}\) di penyebut, jadi kita akan membagi dengan \(x\) di pembilang dan \(\sqrt{x}\) di penyebut, atau bagi semua dengan \(x\) jika kita melihat \(x\) sebagai pangkat tertinggi di pembilang). Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan \(x\) untuk melihat perilaku saat \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{(-x+6)/x}{(\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1})/x}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{-1+6/x}{(\sqrt{x+5}/x) + (\sqrt{2x-1}/x)}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{-1+6/x}{(\sqrt{(x+5)/x^2}) + (\sqrt{(2x-1)/x^2})}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{-1+6/x}{(\sqrt{1/x+5/x^2}) + (\sqrt{2/x-1/x^2})}\) Saat \(x \to \infty\), suku-suku dengan \(1/x\) atau \(1/x^2\) akan mendekati 0. \(\lim_{x \to \infty} \frac{-1+0}{(\sqrt{0+0}) + (\sqrt{0-0})}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{0+0} = \frac{-1}{0}\) Hasilnya adalah tak terhingga negatif. Cara lain yang lebih langsung adalah dengan melihat suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut setelah penyederhanaan dengan konjugat: \(\lim_{x \to \infty} \frac{-x+6}{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x-1}}\) Pembilang memiliki \(-x\) sebagai suku dominan. Penyebut memiliki \(\sqrt{x}\) dan \(\sqrt{2x}\) sebagai suku dominan, yang jika dijumlahkan menjadi \(\sqrt{x} + \sqrt{2}\sqrt{x} = (1+\sqrt{2})\sqrt{x}\). Jadi, limitnya berperilaku seperti \(\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{(1+\sqrt{2})\sqrt{x}}\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{- \sqrt{x}}{1+\sqrt{2}}\) Karena \(\sqrt{x}\) menuju tak terhingga positif saat \(x \to \infty\), maka limitnya adalah tak terhingga negatif. Jadi, nilai dari \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5} - \sqrt{2x-1}) = -\infty\).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Aljabar
Section: Limit Tak Hingga
Apakah jawaban ini membantu?