Nilai dari limit x->0 (1-cos 2x)/(3x^2) adalah ....

Nilai limitnya adalah 2/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: 
lim (x→0) [ (1 - cos 2x) / (3x²) ]

Jika kita substitusi x = 0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, karena 1 - cos(2*0) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0, dan 3*(0)² = 0.

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri: 1 - cos(2θ) = 2sin²(θ).
Dalam kasus ini, 2x berperan sebagai 2θ, sehingga θ = x.
Jadi, 1 - cos(2x) = 2sin²(x).

Mengganti ini ke dalam limit:

lim (x→0) [ (2sin²(x)) / (3x²) ]

Kita bisa memisahkan konstanta dan menggunakan sifat limit:

(2/3) * lim (x→0) [ sin²(x) / x² ]

Kita tahu bahwa lim (x→0) [ sin(x) / x ] = 1.
Kita bisa menulis sin²(x) / x² sebagai (sin(x)/x)².

Jadi, limitnya menjadi:

(2/3) * [ lim (x→0) (sin(x) / x) ]²

(2/3) * [ 1 ]²

(2/3) * 1 = 2/3

Alternatifnya, menggunakan Aturan L'Hopital karena kita memiliki bentuk 0/0:

Turunan dari pembilang (1 - cos 2x) adalah -(-sin 2x * 2) = 2sin 2x.
Turunan dari penyebut (3x²) adalah 6x.

Jadi, limitnya menjadi:

lim (x→0) [ 2sin 2x / 6x ]

Ini masih dalam bentuk 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi:

Turunan dari pembilang (2sin 2x) adalah 2(cos 2x * 2) = 4cos 2x.
Turunan dari penyebut (6x) adalah 6.

Jadi, limitnya menjadi:

lim (x→0) [ 4cos 2x / 6 ]

Sekarang substitusi x = 0:

(4cos(2*0)) / 6 = (4cos(0)) / 6 = (4 * 1) / 6 = 4/6 = 2/3.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.