Nilai dari limit x->0 (1 - cos (4x))/(x sin (2x)) = ....

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{x \sin(2x)}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Cara 1: Menggunakan identitas trigonometri
Kita tahu bahwa $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$. Maka, $1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x)$.
Kita juga tahu bahwa untuk $x$ mendekati 0, $\sin(ax) \approx ax$. Jadi, $\sin(2x) \approx 2x$.

Substitusikan identitas ini ke dalam limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(2x)}{x \sin(2x)} $$ 
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $\sin(2x)$ (karena $x \to 0$, $\sin(2x) \neq 0$):
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(2x)}{x} $$ 
Sekarang, kita bisa menggunakan sifat $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$.
$$ \lim_{x \to 0} 2 \times \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \times \frac{2}{1} = 4 $$ 

Cara 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena jika kita substitusi $x=0$ akan menghasilkan $\frac{1-\cos(0)}{0 \sin(0)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap $x$:
Turunan dari $1 - \cos(4x)$ adalah $- (-\sin(4x) 	imes 4) = 4\sin(4x)$.
Turunan dari $x \sin(2x)$ adalah $(1 \times \sin(2x)) + (x \times \cos(2x) 	imes 2) = \sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

Maka limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{4\sin(4x)}{\sin(2x) + 2x\cos(2x)} $$ 
Substitusi $x=0$ lagi:
$$ \frac{4\sin(0)}{\sin(0) + 2(0)\cos(0)} = \frac{4(0)}{0 + 0} = \frac{0}{0} $$ 
Karena masih menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita gunakan Aturan L'Hopital lagi.
Turunan dari $4\sin(4x)$ adalah $4\cos(4x) 	imes 4 = 16\cos(4x)$.
Turunan dari $\sin(2x) + 2x\cos(2x)$ adalah $(\cos(2x) 	imes 2) + (2\cos(2x) + 2x(-\sin(2x) 	imes 2)) = 2\cos(2x) + 2\cos(2x) - 4x\sin(2x) = 4\cos(2x) - 4x\sin(2x)$.

Maka limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{16\cos(4x)}{4\cos(2x) - 4x\sin(2x)} $$ 
Substitusi $x=0$:
$$ \frac{16\cos(0)}{4\cos(0) - 4(0)\sin(0)} = \frac{16(1)}{4(1) - 0} = \frac{16}{4} = 4 $$ 
Jadi, nilai limitnya adalah 4.