Nilai dari limit x->0 (x tan x)/(1 - cos (2x)) adalah . . .

1/2

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x -> 0 (x tan x) / (1 - cos(2x)), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x = 0.

Turunan dari pembilang (x tan x) adalah (1 * tan x) + (x * sec^2 x) = tan x + x sec^2 x.
Turunan dari penyebut (1 - cos(2x)) adalah -(-sin(2x) * 2) = 2 sin(2x).

Sekarang kita hitung limit dari turunan tersebut:
lim x->0 (tan x + x sec^2 x) / (2 sin(2x))

Substitusikan x = 0:
(tan 0 + 0 * sec^2 0) / (2 sin 0) = (0 + 0 * 1^2) / (2 * 0) = 0/0.

Karena masih dalam bentuk 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (tan x + x sec^2 x) adalah sec^2 x + (1 * sec^2 x + x * 2 sec x * (sec x tan x)) = 2 sec^2 x + 2x sec^2 x tan x.
Turunan dari penyebut (2 sin(2x)) adalah 2 * cos(2x) * 2 = 4 cos(2x).

Sekarang kita hitung limit dari turunan kedua tersebut:
lim x->0 (2 sec^2 x + 2x sec^2 x tan x) / (4 cos(2x))

Substitusikan x = 0:
(2 sec^2 0 + 2*0 * sec^2 0 * tan 0) / (4 cos 0) = (2 * 1^2 + 0) / (4 * 1) = 2/4 = 1/2.

Jadi, nilai dari limit x->0 (x tan x) / (1 - cos(2x)) adalah 1/2.