Nilai dari limit x->5

-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x→5 dari (√(x-1)-2)/(√(6-√(x-1))-√(2+√(x-1))), kita substitusikan x=5:
Pembilang: √(5-1) - 2 = √4 - 2 = 2 - 2 = 0
Penyebut: √(6-√(5-1)) - √(2+√(5-1)) = √(6-√4) - √(2+√4) = √(6-2) - √(2+2) = √4 - √4 = 2 - 2 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital. Kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut.

Misalkan g(x) = √(x-1) - 2 dan h(x) = √(6-√(x-1)) - √(2+√(x-1)).

Turunan g(x) = d/dx ( (x-1)^(1/2) - 2 ) = (1/2)(x-1)^(-1/2) * 1 = 1 / (2√(x-1)).

Untuk turunan h(x), kita perlu aturan rantai:
d/dx (√(u)) = 1/(2√u) * u'.

Untuk suku pertama √(6-√(x-1)):
u = 6 - √(x-1) = 6 - (x-1)^(1/2)
u' = - (1/2)(x-1)^(-1/2) * 1 = -1 / (2√(x-1))
Turunan suku pertama = 1 / (2√(6-√(x-1))) * (-1 / (2√(x-1))).

Untuk suku kedua √(2+√(x-1)):
u = 2 + √(x-1) = 2 + (x-1)^(1/2)
u' = (1/2)(x-1)^(-1/2) * 1 = 1 / (2√(x-1))
Turunan suku kedua = 1 / (2√(2+√(x-1))) * (1 / (2√(x-1))).

Jadi, turunan h(x) = [1 / (2√(6-√(x-1))) * (-1 / (2√(x-1)))] - [1 / (2√(2+√(x-1))) * (1 / (2√(x-1)))]

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital: limit dari g'(x)/h'(x) saat x→5.

Substitusikan x=5:
2√(x-1) = 2√(5-1) = 2√4 = 4.
√(x-1) = √4 = 2.

g'(5) = 1 / (2 * 2) = 1/4.

Substitusikan ke dalam turunan h(x):
Term 1: 1 / (2√4) * (-1 / 4) = 1/4 * (-1/4) = -1/16.
Term 2: 1 / (2√4) * (1 / 4) = 1/4 * (1/4) = 1/16.

h'(5) = (-1/16) - (1/16) = -2/16 = -1/8.

Limitnya adalah g'(5) / h'(5) = (1/4) / (-1/8) = (1/4) * (-8/1) = -8/4 = -2.