Nilai dari p dan q berturut-turut dari pecahan

p = -3, q = -8

Pembahasan

Untuk menyederhanakan pecahan $\frac{x^4+px^3+qx^2+12x+16}{x^2-6x+8}$, penyebut $x^2-6x+8$ haruslah merupakan faktor dari pembilang $x^4+px^3+qx^2+12x+16$.

Pertama, kita faktorkan penyebutnya: $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.

Agar pecahan tersebut dapat disederhanakan, maka $x=2$ dan $x=4$ haruslah menjadi akar dari pembilang. Artinya, jika kita substitusikan $x=2$ dan $x=4$ ke dalam pembilang, hasilnya harus nol.

Substitusi $x=2$ ke dalam pembilang:
$2^4 + p(2^3) + q(2^2) + 12(2) + 16 = 0$
$16 + 8p + 4q + 24 + 16 = 0$
$8p + 4q + 56 = 0$
$2p + q + 14 = 0$  (Persamaan 1)

Substitusi $x=4$ ke dalam pembilang:
$4^4 + p(4^3) + q(4^2) + 12(4) + 16 = 0$
$256 + 64p + 16q + 48 + 16 = 0$
$64p + 16q + 320 = 0$
$4p + q + 20 = 0$  (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear dari Persamaan 1 dan Persamaan 2 untuk mencari nilai p dan q.
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(4p + q + 20) - (2p + q + 14) = 0$
$2p + 6 = 0$
$2p = -6$
$p = -3$

Substitusikan nilai $p = -3$ ke dalam Persamaan 1:
$2(-3) + q + 14 = 0$
$-6 + q + 14 = 0$
$q + 8 = 0$
$q = -8$

Jadi, nilai p dan q berturut-turut adalah -3 dan -8.