Tentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian tiap dari

Himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 1, -1)}

Pembahasan

Kita akan menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut:
1. x+3y-z=3
2. x+2y+3z=-2
3. x+y-z=1

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel dari dua persamaan untuk mendapatkan persamaan baru.
Mari kita eliminasi x dari persamaan (1) dan (3).
(1) x+3y-z=3
(3) x+y-z=1
Kurangkan (3) dari (1):
(x+3y-z) - (x+y-z) = 3 - 1
2y = 2
y = 1

Langkah 2: Substitusikan nilai y ke dalam dua persamaan lain untuk mendapatkan persamaan baru dengan dua variabel.
Substitusikan y=1 ke persamaan (1) dan (2):
Persamaan (1) menjadi: x + 3(1) - z = 3  => x + 3 - z = 3  => x - z = 0  => x = z
Persamaan (2) menjadi: x + 2(1) + 3z = -2 => x + 2 + 3z = -2 => x + 3z = -4

Langkah 3: Substitusikan hasil dari Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan baru untuk menemukan nilai variabel lainnya.
Kita punya x = z dan x + 3z = -4.
Substitusikan x = z ke dalam persamaan x + 3z = -4:
z + 3z = -4
4z = -4
z = -1

Langkah 4: Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke persamaan lain untuk menemukan nilai variabel yang tersisa.
Karena x = z, maka x = -1.

Langkah 5: Verifikasi solusi dengan memasukkan nilai x, y, dan z ke salah satu persamaan awal.
Mari kita gunakan persamaan (3): x + y - z = 1
(-1) + (1) - (-1) = 1
-1 + 1 + 1 = 1
1 = 1 (Benar)

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah x = -1, y = 1, dan z = -1. Himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 1, -1)}.