Nilai dari (tan 75+tan 15)/(tan 75-tan 15) adalah....

2√3/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri.
Pertama, kita ubah tan 75 dan tan 15 ke dalam bentuk yang lebih mudah dihitung:
tan 75 = tan (45 + 30) = (tan 45 + tan 30) / (1 - tan 45 tan 30) = (1 + 1/√3) / (1 - 1/√3) = (√3+1)/(√3-1) = (√3+1)² / ((√3-1)(√3+1)) = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3
tan 15 = tan (45 - 30) = (tan 45 - tan 30) / (1 + tan 45 tan 30) = (1 - 1/√3) / (1 + 1/√3) = (√3-1)/(√3+1) = (√3-1)² / ((√3+1)(√3-1)) = (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam soal:
(tan 75 + tan 15) / (tan 75 - tan 15) = ((2 + √3) + (2 - √3)) / ((2 + √3) - (2 - √3))
= (2 + √3 + 2 - √3) / (2 + √3 - 2 + √3)
= 4 / (2√3)
= 2/√3
= 2√3 / 3

Namun, ada cara yang lebih cepat menggunakan identitas:
tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
tan(A-B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)

Perhatikan bahwa soal ini mirip dengan bentuk tan(A+B) dan tan(A-B).
Misalkan A = 75 dan B = 15. Maka A+B = 90 dan A-B = 60.

Kita bisa gunakan identitas lain:
Jika tan(A+B) = tan 90, maka nilai pembagi (1 - tan A tan B) harus 0, yang berarti tan A tan B = 1. Ini tidak terjadi di sini.

Mari kita gunakan identitas jumlah dan selisih tangen secara langsung:
Misalkan X = tan 75 dan Y = tan 15.
Kita perlu menghitung (X+Y)/(X-Y).

Kita tahu bahwa tan 75 = tan(45+30) = 2 + √3
dan tan 15 = tan(45-30) = 2 - √3

Jadi, (tan 75 + tan 15) / (tan 75 - tan 15) = ( (2 + √3) + (2 - √3) ) / ( (2 + √3) - (2 - √3) )
= (4) / (2√3)
= 2/√3
= 2√3/3

Ada cara lain dengan menggunakan identitas penambah dan pengurang tangen:
(tan A + tan B) = sin(A+B) / (cos A cos B)
(tan A - tan B) = sin(A-B) / (cos A cos B)

Maka, (tan A + tan B) / (tan A - tan B) = sin(A+B) / sin(A-B)

Dalam soal ini, A = 75 dan B = 15.
Jadi, (tan 75 + tan 15) / (tan 75 - tan 15) = sin(75 + 15) / sin(75 - 15)
= sin(90) / sin(60)
= 1 / (√3/2)
= 2/√3
= 2√3/3