Nilai k dan a yang memenuhi persamaan sin x-akar(3)cos

k=2, a=60°

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan sin x - √(3)cos x + 1 = 0 dengan batasan 0 ≤ x ≤ 360°, kita dapat mengubah bentuk persamaan ke bentuk R sin(x - α) atau R cos(x + α).

Mari kita ubah ke bentuk R sin(x - α).
Bentuk umum: a sin x + b cos x = R sin(x + α) atau R sin(x - α).
Dalam kasus ini, kita memiliki sin x - √(3)cos x.
Ini setara dengan a=1 dan b=-√(3).

1. Cari nilai R:
R = √(a^2 + b^2)
R = √(1^2 + (-√(3))^2)
R = √(1 + 3)
R = √(4)
R = 2

2. Cari nilai α:
Kita gunakan bentuk R sin(x - α) = R (sin x cos α - cos x sin α).
Jadi, kita samakan koefisiennya:
a = R cos α  => 1 = 2 cos α => cos α = 1/2
b = -R sin α => -√(3) = -2 sin α => sin α = √(3)/2

Nilai α yang memenuhi cos α = 1/2 dan sin α = √(3)/2 adalah α = 60° atau Α/3 radian.

3. Substitusikan kembali ke persamaan awal:
Persamaan menjadi 2 sin(x - 60°) + 1 = 0
2 sin(x - 60°) = -1
sin(x - 60°) = -1/2

4. Cari nilai (x - 60°) yang memenuhi sin(x - 60°) = -1/2 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Dalam rentang 0° hingga 360°, nilai sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
Sudut referensi untuk sin θ = 1/2 adalah 30°.

Di kuadran III: (x - 60°) = 180° + 30° = 210°
Di kuadran IV: (x - 60°) = 360° - 30° = 330°

5. Cari nilai x:
Untuk (x - 60°) = 210°:
x = 210° + 60°
x = 270°

Untuk (x - 60°) = 330°:
x = 330° + 60°
x = 390° (Ini di luar rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Jadi, satu-satunya solusi untuk x dalam rentang yang diberikan adalah x = 270°.

Namun, pertanyaan meminta nilai k dan a. Jika kita mengasumsikan bahwa persamaan asli adalah dalam bentuk sin x - √(3)cos x = k sin(x - a) atau variasi serupa, maka:

Kita punya sin x - √(3)cos x.
Kita ubah menjadi R sin(x - α).
Kita temukan R=2 dan α=60°.
Jadi, sin x - √(3)cos x = 2 sin(x - 60°).

Jika persamaan soal adalah sin x - √(3)cos x = k sin(x - a), maka:
k = 2
a = 60°

Kita harus memeriksa apakah nilai-nilai ini konsisten dengan persamaan sin x - √(3)cos x + 1 = 0.
2 sin(x - 60°) + 1 = 0
2 sin(x - 60°) = -1
sin(x - 60°) = -1/2

Ini konsisten dengan analisis sebelumnya.

Jadi, nilai k yang dimaksud adalah amplitudo (R) dan nilai a adalah sudut fase.
Nilai k = 2 dan nilai a = 60°.