Nilai lim x->0 (1-cos4x)/x^2 =..

8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x->0 (1-cos4x)/x^2, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau tak hingga/tak hingga, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x), di mana f'(x) dan g'(x) adalah turunan dari f(x) dan g(x).

Misalkan f(x) = 1 - cos(4x) dan g(x) = x^2.

Turunan f(x): f'(x) = d/dx (1 - cos(4x)) = 0 - (-sin(4x) * 4) = 4sin(4x).
Turunan g(x): g'(x) = d/dx (x^2) = 2x.

Sekarang terapkan aturan L'Hopital:
lim x->0 (1-cos4x)/x^2 = lim x->0 (4sin(4x))/(2x)

Kita masih mendapatkan bentuk 0/0 jika mensubstitusikan x=0. Jadi, kita terapkan lagi aturan L'Hopital:

Turunan dari 4sin(4x): d/dx (4sin(4x)) = 4 * (cos(4x) * 4) = 16cos(4x).
Turunan dari 2x: d/dx (2x) = 2.

Sekarang terapkan aturan L'Hopital lagi:
lim x->0 (4sin(4x))/(2x) = lim x->0 (16cos(4x))/2

Substitusikan x=0:
= (16cos(4*0))/2
= (16cos(0))/2
= (16 * 1)/2
= 16/2
= 8

Jadi, nilai lim x->0 (1-cos4x)/x^2 = 8.