Nilai lim _(x -> 0)((sin 2 x+sin 6 x+sin 10 x-tan 16)/(3

-1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin 6x + \sin 10x - \tan 16x}{3 \sin x - \tan 5x}$, kita akan menggunakan identitas $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}$.

Kita bagi pembilang dan penyebut dengan x:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x} + \frac{\sin 6x}{x} + \frac{\sin 10x}{x} - \frac{\tan 16x}{x}}{\frac{3 \sin x}{x} - \frac{\tan 5x}{x}}$

Sekarang, kita terapkan limit pada setiap suku:

Pembilang:
$\frac{2}{1} + \frac{6}{1} + \frac{10}{1} - \frac{16}{1} = 2 + 6 + 10 - 16 = 18 - 16 = 2$

Penyebut:
$\frac{3 \sin x}{x} - \frac{\tan 5x}{x} = 3 \times \frac{\sin x}{x} - \frac{\tan 5x}{x}$

Limit penyebut:
$3 \times 1 - \frac{5}{1} = 3 - 5 = -2$

Jadi, nilai limitnya adalah:
$rac{2}{-2} = -1$

Namun, perlu diperhatikan bahwa soal tersebut memiliki kesalahan penulisan pada "- tan 16" di pembilang, yang seharusnya adalah "- tan 16x". Jika diasumsikan demikian, perhitungannya adalah sebagai berikut:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin 6x + \sin 10x - \tan 16x}{3 \sin x - \tan 5x}$

Bagi semua suku dengan x:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x} + \frac{\sin 6x}{x} + \frac{\sin 10x}{x} - \frac{\tan 16x}{x}}{\frac{3 \sin x}{x} - \frac{\tan 5x}{x}}$

$=\frac{2 + 6 + 10 - 16}{3 - 5} = \frac{18 - 16}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$

Jika "- tan 16" adalah konstanta, maka limitnya akan menjadi tak terhingga karena penyebutnya mendekati 0 sedangkan pembilangnya mendekati nilai non-nol.