Nilai lim x->0 (sin4x.tan^2 3x+6x^2)/(2x^2+sin3x.cos2x)=

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit. 

Limit yang diberikan adalah: lim x->0 (sin4x.tan^2 3x+6x^2)/(2x^2+sin3x.cos2x)

Kita dapat memecah dan menyederhanakan bagian-bagian dari ekspresi tersebut. Ingat bahwa untuk x yang mendekati 0, sin(ax) ≈ ax dan tan(bx) ≈ bx.

Bagian pembilang: sin4x.tan^2 3x + 6x^2
Kita bisa mendekati sin4x dengan 4x dan tan 3x dengan 3x.
Jadi, sin4x.tan^2 3x ≈ (4x)(3x)^2 = (4x)(9x^2) = 36x^3.
Bagian pembilang menjadi: 36x^3 + 6x^2.

Bagian penyebut: 2x^2 + sin3x.cos2x
Kita bisa mendekati sin3x dengan 3x. Untuk cos2x, ketika x mendekati 0, cos2x mendekati cos(0) = 1.
Jadi, sin3x.cos2x ≈ (3x)(1) = 3x.
Bagian penyebut menjadi: 2x^2 + 3x.

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->0 (36x^3 + 6x^2) / (2x^2 + 3x)

Kita bisa memfaktorkan x dari pembilang dan penyebut:
lim x->0 [x(36x^2 + 6x)] / [x(2x + 3)]

Batalkan x yang sama:
lim x->0 (36x^2 + 6x) / (2x + 3)

Sekarang substitusikan x = 0:
(36(0)^2 + 6(0)) / (2(0) + 3)
(0 + 0) / (0 + 3)
0 / 3
0

Namun, ada pendekatan yang lebih tepat menggunakan limit standar: lim x->0 sin(ax)/ax = 1 dan lim x->0 tan(bx)/bx = 1.
Mari kita gunakan pendekatan ini:

lim x->0 (sin4x.tan^2 3x+6x^2)/(2x^2+sin3x.cos2x)

Bagi pembilang dan penyebut dengan x^2 (karena suku dengan pangkat terendah di penyebut setelah analisis awal adalah x^2):

lim x->0 [(sin4x/x * tan^2 3x/x) + 6x^2/x^2] / [2x^2/x^2 + (sin3x/x * cos2x)]

Ini masih belum benar karena kita perlu menyesuaikan pembagi agar sesuai dengan argumen sinus dan tangen.

Mari kita coba membagi pembilang dan penyebut dengan suku dengan pangkat terendah secara keseluruhan, yang sepertinya adalah x.

lim x->0 (sin4x*tan(3x)*tan(3x) + 6x^2) / (2x^2 + sin3x*cos2x)

Kita tahu bahwa:
lim x->0 sin(4x)/4x = 1 => sin(4x) ≈ 4x
lim x->0 tan(3x)/3x = 1 => tan(3x) ≈ 3x
lim x->0 cos(2x) = 1

Substitusikan ini ke dalam ekspresi:
lim x->0 ( (4x) * (3x) * (3x) + 6x^2 ) / ( 2x^2 + (3x) * 1 )
lim x->0 ( 36x^3 + 6x^2 ) / ( 2x^2 + 3x )

Untuk x mendekati 0, suku dengan pangkat tertinggi akan mendominasi jika pembaginya bukan nol. Namun, di sini suku 3x di penyebut menjadi nol.
Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->0 (36x^2 + 6x) / (2x + 3)

Saat x -> 0, pembilang menjadi 0 dan penyebut menjadi 3.
Jadi, hasilnya adalah 0/3 = 0.

Perlu diingat bahwa dalam soal limit trigonometri, seringkali pembagian dengan x atau pangkat x yang sesuai adalah kunci.
Mari kita pertimbangkan kembali pembilang dan penyebut:
Pembilang: sin(4x) * (tan(3x))^2 + 6x^2
Penyebut: 2x^2 + sin(3x) * cos(2x)

Untuk x kecil:
sin(4x) ≈ 4x
tan(3x) ≈ 3x
cos(2x) ≈ 1

Pembilang ≈ (4x)(3x)^2 + 6x^2 = 4x(9x^2) + 6x^2 = 36x^3 + 6x^2
Penyebut ≈ 2x^2 + (3x)(1) = 2x^2 + 3x

Limitnya menjadi lim x->0 (36x^3 + 6x^2) / (2x^2 + 3x)

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->0 (36x^2 + 6x) / (2x + 3)

Substitusikan x = 0:
(36(0)^2 + 6(0)) / (2(0) + 3) = 0 / 3 = 0.

Ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan ketik atau ekspektasi penyederhanaan yang berbeda. Namun, berdasarkan aturan limit trigonometri standar, hasilnya adalah 0.

Jika kita mengasumsikan ada suku x^3 di penyebut atau eksponen yang berbeda, hasilnya bisa berbeda.

Mari kita coba membagi pembilang dan penyebut dengan suku pangkat terendah di penyebut setelah substitusi awal, yaitu 3x (dari sin3x). Tapi kita tidak bisa membagi dengan x karena ada suku 2x^2.

Kembali ke: lim x->0 (36x^3 + 6x^2) / (2x^2 + 3x)
Faktorkan x^2 dari pembilang dan x dari penyebut:
lim x->0 [x^2(36x + 6)] / [x(2x + 3)]
lim x->0 [x(36x + 6)] / (2x + 3)

Substitusikan x = 0:
[0 * (36*0 + 6)] / (2*0 + 3) = (0 * 6) / 3 = 0 / 3 = 0.

Apabila soalnya adalah:
lim x->0 (sin4x.tan^2 3x)/(2x^2+sin3x.cos2x)

Maka:
lim x->0 ( (4x)(3x)^2 ) / ( 2x^2 + 3x )
lim x->0 ( 36x^3 ) / ( 2x^2 + 3x )
Bagi dengan x:
lim x->0 ( 36x^2 ) / ( 2x + 3 )
Substitusi x=0:
(36 * 0) / (2 * 0 + 3) = 0 / 3 = 0.

Jika soalnya adalah:
lim x->0 (sin4x.tan 3x)/(2x^2+sin3x.cos2x)

Maka:
lim x->0 ( (4x)(3x) ) / ( 2x^2 + 3x )
lim x->0 ( 12x^2 ) / ( 2x^2 + 3x )
Bagi dengan x^2:
lim x->0 12 / (2 + 3x/x^2)
Ini menuju tak hingga.

Mari kita asumsikan soal yang diberikan sudah benar dan menggunakan pendekatan yang paling umum:
lim x->0 (sin4x.tan^2 3x+6x^2)/(2x^2+sin3x.cos2x)

Pembilang: sin(4x)tan^2(3x) + 6x^2
Penyebut: 2x^2 + sin(3x)cos(2x)

Untuk x mendekati 0:
sin(4x) ≈ 4x
tan(3x) ≈ 3x
cos(2x) ≈ 1

Pembilang ≈ (4x)(3x)^2 + 6x^2 = 4x(9x^2) + 6x^2 = 36x^3 + 6x^2
Penyebut ≈ 2x^2 + (3x)(1) = 2x^2 + 3x

Limitnya = lim x->0 (36x^3 + 6x^2) / (2x^2 + 3x)
Untuk mencari limit saat x mendekati 0, kita perlu melihat suku dengan pangkat terendah di penyebut yang tidak nol. Di sini penyebutnya adalah 3x + 2x^2. Suku dengan pangkat terendah adalah 3x.
Namun, jika kita membagi dengan x, kita mendapatkan:
lim x->0 (36x^2 + 6x) / (2x + 3)
Saat x=0, nilainya adalah 0/3 = 0.

Jika soal memiliki maksud lain, mungkin ada pembagian suku yang berbeda.
Misalnya, jika kita membagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
lim x->0 [ (sin4x/x)*(tan^2 3x/x) + 6 ] / [ 2 + (sin3x/x)*(cos2x) ]
Ini tidak tepat karena tan^2 3x perlu dibagi dengan (3x)^2 = 9x^2.

Mari kita gunakan cara yang lebih formal dengan mengalikan dan membagi:
lim x->0 [sin(4x)/ (4x) * (4x) * (tan(3x)/(3x))^2 * (3x)^2 + 6x^2] / [2x^2 + sin(3x)/(3x) * (3x) * cos(2x)]
lim x->0 [1 * 4x * 1^2 * 9x^2 + 6x^2] / [2x^2 + 1 * 3x * 1]
lim x->0 [36x^3 + 6x^2] / [2x^2 + 3x]

Ini kembali ke ekspresi yang sama.
Saat x mendekati 0, suku dengan pangkat terendah di penyebut adalah 3x. Suku dengan pangkat terendah di pembilang adalah 6x^2.

Dalam kasus ini, pembilang mendekati 0 lebih cepat daripada penyebut (jika kita hanya melihat suku 3x).

Jika kita membagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->0 (36x^2 + 6x) / (2x + 3)
Saat x=0, hasilnya 0/3 = 0.

Perlu diperhatikan bahwa kadang-kadang dalam soal limit seperti ini, jika terdapat suku konstanta atau suku linear di penyebut, hasilnya bisa menjadi tak hingga atau nol tergantung pada pembilang.

Dalam kasus ini, pembilang memiliki suku 6x^2 dan penyebut memiliki suku 3x. Ketika x mendekati 0, 3x mendominasi penyebut.

Jika kita melihat rasio suku dengan pangkat terendah:
(6x^2) / (3x) = 2x.
Saat x->0, 2x -> 0.

Oleh karena itu, nilai limitnya adalah 0.