Nilai Lim x->27 ((x^1/3)-3) / (x-27)= ...

Nilai limitnya adalah 1/27.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan metode substitusi atau aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 27 langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Menggunakan metode substitusi:
Misalkan u = x^(1/3). Maka, ketika x = 27, u = 27^(1/3) = 3. Juga, x = u^3.
Limitnya menjadi:
lim (u->3) (u - 3) / (u^3 - 27)
Kita bisa memfaktorkan penyebut sebagai selisih kubik: u^3 - 27 = (u - 3)(u^2 + 3u + 9).
Jadi, limitnya menjadi:
lim (u->3) (u - 3) / [(u - 3)(u^2 + 3u + 9)]
Kita bisa membatalkan (u - 3) dari pembilang dan penyebut:
lim (u->3) 1 / (u^2 + 3u + 9)
Sekarang substitusikan u = 3:
1 / (3^2 + 3*3 + 9) = 1 / (9 + 9 + 9) = 1 / 27.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Karena substitusi langsung menghasilkan 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.
Turunan pembilang (x^(1/3) - 3) adalah (1/3)x^(-2/3).
Turunan penyebut (x - 27) adalah 1.
Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->27) [(1/3)x^(-2/3)] / 1
= (1/3) * (27)^(-2/3)
= (1/3) * (1 / 27^(2/3))
= (1/3) * (1 / (27^(1/3))^2)
= (1/3) * (1 / 3^2)
= (1/3) * (1 / 9)
= 1 / 27.