Tunjukkan bahwa persamaan garis y+3x+10=0 adalah garis

Garis y+3x+10=0 adalah garis singgung lingkaran x^2+y^2-8x+4y-20=0 karena substitusi menghasilkan persamaan kuadrat dengan satu solusi (diskriminan nol). Titik singgungnya adalah (-2, -4).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa garis y+3x+10=0 adalah garis singgung lingkaran x^2+y^2-8x+4y-20=0, dan kemudian menentukan titik singgungnya, kita dapat menggunakan metode substitusi atau metode diskriminan.

**Metode Substitusi:
**
1.  **Ubah Persamaan Garis:** Dari persamaan garis y+3x+10=0, kita dapat mengekspresikan y dalam bentuk x: y = -3x - 10.
2.  **Substitusi ke Persamaan Lingkaran:** Gantikan y dalam persamaan lingkaran dengan (-3x - 10):
x^2 + (-3x - 10)^2 - 8x + 4(-3x - 10) - 20 = 0
3.  **Sederhanakan Persamaan:**
x^2 + (9x^2 + 60x + 100) - 8x - 12x - 40 - 20 = 0
x^2 + 9x^2 + 60x + 100 - 8x - 12x - 60 = 0
10x^2 + (60 - 8 - 12)x + (100 - 60) = 0
10x^2 + 40x + 40 = 0
4.  **Bagi dengan 10:**
x^2 + 4x + 4 = 0
5.  **Faktorkan Persamaan Kuadrat:**
(x + 2)^2 = 0
Ini memberikan satu solusi untuk x, yaitu x = -2.

Karena kita mendapatkan tepat satu nilai x, ini menunjukkan bahwa garis tersebut memotong lingkaran di tepat satu titik, yang berarti garis tersebut adalah garis singgung.

**Menentukan Titik Singgung:**
Sekarang kita substitusikan nilai x = -2 kembali ke persamaan garis y = -3x - 10:
y = -3(-2) - 10
y = 6 - 10
y = -4

Jadi, titik singgungnya adalah (-2, -4).

**Metode Diskriminan (Alternatif):**
Metode ini juga melibatkan substitusi seperti di atas, tetapi fokus pada diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan. Jika diskriminan (D = b^2 - 4ac) sama dengan nol, maka garis tersebut menyinggung lingkaran.
Dalam kasus kita, persamaan kuadratnya adalah 10x^2 + 40x + 40 = 0. Dengan a=10, b=40, c=40:
D = (40)^2 - 4(10)(40)
D = 1600 - 1600
D = 0
Karena D = 0, garis tersebut menyinggung lingkaran. Titik singgungnya dihitung seperti langkah sebelumnya.