Nilai lim x->4 (4x^2-54)/(x+akar(x)-6)=....

Menghitung limit fungsi aljabar dengan substitusi langsung, yang menghasilkan bentuk 10/0.

Pembahasan

Soal ini adalah tentang limit fungsi aljabar.
Kita perlu mencari nilai dari:
lim (4x^2 - 54) / (x + sqrt(x) - 6) saat x mendekati 4.

Langkah pertama adalah mencoba substitusi langsung nilai x = 4 ke dalam fungsi:
Pembilang: 4(4)^2 - 54 = 4(16) - 54 = 64 - 54 = 10
Penyebut: 4 + sqrt(4) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0

Karena hasilnya adalah 10/0, ini menunjukkan bahwa limitnya adalah tak hingga atau tak terdefinisi, namun kita perlu memeriksa lebih lanjut karena ada akar kuadrat.

Mari kita coba faktorisasi atau menggunakan perkalian sekawan jika diperlukan. Namun, bentuk penyebutnya (x + sqrt(x) - 6) mungkin memerlukan teknik lain atau pemeriksaan ulang soal.

Jika kita menganggap soalnya benar, mari kita coba substitusi lagi dengan hati-hati.
Ketika x mendekati 4, pembilang mendekati 10.
Penyebut mendekati 4 + sqrt(4) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0.

Jika penyebut mendekati 0 dari sisi positif, limitnya adalah +∞.
Jika penyebut mendekati 0 dari sisi negatif, limitnya adalah -∞.

Mari kita periksa perilaku penyebut di sekitar x=4.
Misalkan x = 4 + h, di mana h sangat kecil.
Penyebut = (4+h) + sqrt(4+h) - 6
sqrt(4+h) bisa diaproksimasi menggunakan deret Taylor atau sifat akar.
sqrt(4+h) = sqrt(4(1 + h/4)) = 2 * sqrt(1 + h/4)
Menggunakan aproksimasi (1+u)^n ≈ 1 + nu untuk u kecil:
sqrt(1 + h/4) ≈ 1 + (1/2)*(h/4) = 1 + h/8
Jadi, sqrt(4+h) ≈ 2 * (1 + h/8) = 2 + h/4.

Penyebut ≈ (4+h) + (2 + h/4) - 6
Penyebut ≈ 4 + h + 2 + h/4 - 6
Penyebut ≈ (4+2-6) + (h + h/4)
Penyebut ≈ 0 + (5h/4)

Jadi, penyebut mendekati 0 dari sisi positif jika h positif (x > 4) dan dari sisi negatif jika h negatif (x < 4).

Namun, aproksimasi ini mungkin tidak cukup jika limitnya bukan tak hingga.

Mari kita coba faktorkan penyebut:
Misalkan y = sqrt(x), maka x = y^2.
Saat x -> 4, maka y -> 2.
Penyebut menjadi: y^2 + y - 6
Faktorkan: (y+3)(y-2)
Ganti kembali y = sqrt(x):
Penyebut = (sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 2)

Sekarang kita punya:
lim (4x^2 - 54) / ((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 2)) saat x -> 4.

Saat x -> 4:
Pembilang -> 4(4)^2 - 54 = 10
Faktor (sqrt(x) + 3) -> sqrt(4) + 3 = 2 + 3 = 5
Faktor (sqrt(x) - 2) -> sqrt(4) - 2 = 2 - 2 = 0

Jadi, limitnya adalah 10 / (5 * 0) = 10 / 0.

Untuk menentukan apakah tak hingga positif atau negatif, kita perlu melihat tanda dari penyebut saat x mendekati 4.
Jika x mendekati 4 dari sisi positif (x > 4), maka sqrt(x) > 2, jadi (sqrt(x) - 2) > 0.
Jika x mendekati 4 dari sisi negatif (x < 4), maka sqrt(x) < 2, jadi (sqrt(x) - 2) < 0.

Pembilang (4x^2 - 54) mendekati 10 (positif).
Faktor (sqrt(x) + 3) mendekati 5 (positif).

Jadi, jika x -> 4+ (dari kanan):
Limit ≈ 10 / (5 * (sesuatu yang positif kecil)) = +∞

Jika x -> 4- (dari kiri):
Limit ≈ 10 / (5 * (sesuatu yang negatif kecil)) = -∞

Karena limit dari kiri dan kanan tidak sama, maka limitnya tidak ada.

Namun, seringkali dalam soal seperti ini, ada kesalahan pengetikan atau maksud soalnya adalah agar limitnya ada. Mari kita periksa jika ada kesalahan pada pembilang yang seharusnya membuat pembilang juga nol saat x=4.
Contoh: jika pembilangnya 4x - 16, maka saat x=4, hasilnya 0. Atau jika 4x^2 - 64.

Jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang tertulis:
lim x->4 (4x^2-54)/(x+akar(x)-6)
Pembilang → 10
Penyebut → 0
Limit tidak ada (atau bisa dikatakan tak hingga, tergantung konteks).

Seringkali ada kesalahan pengetikan dalam soal seperti ini, dan pembilang seharusnya juga bernilai 0 saat x=4 agar bisa disederhanakan. Misalnya, jika soalnya adalah:
lim x->4 (4x^2 - 64) / (x + sqrt(x) - 6)
Maka:
Pembilang = 4(16) - 64 = 0
Penyebut = 4 + 2 - 6 = 0
Bentuk 0/0.
Kita bisa faktorkan penyebut seperti di atas: (sqrt(x)+3)(sqrt(x)-2).
Pembilang bisa difaktorkan: 4(x^2 - 16) = 4(x-4)(x+4).
Kita perlu mengubah x-4 menjadi bentuk yang melibatkan sqrt(x).
x-4 = (sqrt(x)-2)(sqrt(x)+2).
Jadi pembilang = 4(sqrt(x)-2)(sqrt(x)+2)(x+4).

Limit = lim [4(sqrt(x)-2)(sqrt(x)+2)(x+4)] / [(sqrt(x)+3)(sqrt(x)-2)] saat x->4
Cancel (sqrt(x)-2):
Limit = lim [4(sqrt(x)+2)(x+4)] / (sqrt(x)+3) saat x->4
Substitusi x=4:
Limit = [4(sqrt(4)+2)(4+4)] / (sqrt(4)+3)
Limit = [4(2+2)(8)] / (2+3)
Limit = [4(4)(8)] / 5
Limit = [16 * 8] / 5
Limit = 128 / 5

Namun, berdasarkan soal ASLI yang diberikan: lim x->4 (4x^2-54)/(x+akar(x)-6), hasil substitusi langsung memberikan 10/0, yang berarti limitnya tidak ada (atau tak hingga). Jika diminta nilai numerik, kemungkinan besar ada kesalahan pengetikan pada soal.