Nilai lim x mendekati tak hingga akar(4x^2+8x-5)-akar(2x-1)

Jika soal yang dimaksud adalah $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{4x^2-1})$, maka nilainya adalah 2. Jika soal asli benar, limitnya adalah tak hingga.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x mendekati tak hingga dari 
$\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{2x-1}$, kita perlu menggunakan teknik mengalikan dengan konjugatnya.

Langkah 1: Tulis ulang ekspresi limit.
L = $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{2x-1})$

Perhatikan bahwa saat x mendekati tak hingga, suku dengan pangkat tertinggi mendominasi. Di sini, $\sqrt{4x^2}$ mendekati $2x$, sedangkan $\sqrt{2x-1}$ tumbuh lebih lambat. Ekspresi ini berbentuk $\infty - \infty$, yang merupakan bentuk tak tentu.

Namun, jika kita perhatikan kembali, suku pertama tumbuh sebagai $2x$ dan suku kedua tumbuh sebagai $\sqrt{2x}$. Sehingga ekspresi ini sebenarnya mendekati $\infty - \infty$, yang memang tak tentu. Terdapat kesalahan dalam soal asli yang mungkin dimaksud adalah $\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{4x^2-1}$ atau sejenisnya agar kedua suku mendekati nilai yang sama.

Asumsikan soal yang dimaksud adalah $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{4x^2-1})$ agar menjadi bentuk $\infty - \infty$ yang umum.

Langkah 2: Kalikan dengan konjugat.
Konjugat dari $(\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{4x^2-1})$ adalah $(\sqrt{4x^2+8x-5}+\sqrt{4x^2-1})$.

L = $\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{4x^2-1})(\sqrt{4x^2+8x-5}+\sqrt{4x^2-1})}{(\sqrt{4x^2+8x-5}+\sqrt{4x^2-1})}$
L = $\lim_{x\to\infty} \frac{(4x^2+8x-5)-(4x^2-1)}{(\sqrt{4x^2+8x-5}+\sqrt{4x^2-1})}$
L = $\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2+8x-5-4x^2+1}{(\sqrt{4x^2+8x-5}+\sqrt{4x^2-1})}$
L = $\lim_{x\to\infty} \frac{8x-4}{(\sqrt{4x^2+8x-5}+\sqrt{4x^2-1})}$

Langkah 3: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (atau $\sqrt{x^2}$).
L = $\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{8x}{x}-\frac{4}{x}}{(\sqrt{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{8x}{x^2}-\frac{5}{x^2}}+\sqrt{\frac{4x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}})}$
L = $\lim_{x\to\infty} \frac{8-\frac{4}{x}}{(\sqrt{4+\frac{8}{x}-\frac{5}{x^2}}+\sqrt{4-\frac{1}{x^2}})}$

Langkah 4: Substitusikan x = ∞. Ingat bahwa $\frac{c}{x} \to 0$ saat $x \to \infty$.
L = $\frac{8-0}{(\sqrt{4+0-0}+\sqrt{4-0})}$
L = $\frac{8}{(\sqrt{4}+\sqrt{4})}$
L = $\frac{8}{(2+2)}$
L = $\frac{8}{4}$
L = 2

Jika soal asli memang $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{2x-1})$, maka nilai limitnya adalah tak hingga karena suku pertama tumbuh jauh lebih cepat daripada suku kedua.