Nilai lim x->tak hingga (akar(5x+4)-akar(3x+9))/4x

0

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari lim x->tak hingga (akar(5x+4)-akar(3x+9))/4x, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan dari pembilang.

Limit = lim x->tak hingga (akar(5x+4) - akar(3x+9)) / 4x

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang, yaitu (akar(5x+4) + akar(3x+9)):

Limit = lim x->tak hingga [(akar(5x+4) - akar(3x+9)) * (akar(5x+4) + akar(3x+9))] / [4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9))]

Gunakan rumus selisih kuadrat (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 di pembilang:

Limit = lim x->tak hingga [(5x+4) - (3x+9)] / [4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9))]
Limit = lim x->tak hingga [5x + 4 - 3x - 9] / [4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9))]
Limit = lim x->tak hingga [2x - 5] / [4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9))]

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut. Pangkat tertinggi di penyebut adalah x dikalikan dengan akar x, yang setara dengan x^(3/2). Namun, pendekatan yang lebih umum untuk limit tak hingga adalah membagi dengan x pada setiap suku di pembilang dan penyebut. Untuk penyebut yang memiliki akar, kita perlu membagi dengan x di dalam akar sebagai x^2.

Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan x:

Limit = lim x->tak hingga [(2x/x) - (5/x)] / [(4x/x) * (akar(5x/x^2 + 4/x^2) + akar(3x/x^2 + 9/x^2))]
Limit = lim x->tak hingga [2 - 5/x] / [4 * (akar(5/x + 4/x^2) + akar(3/x + 9/x^2))]

Saat x mendekati tak hingga:
5/x -> 0
4/x^2 -> 0
3/x -> 0
9/x^2 -> 0

Substitusikan nilai-nilai ini:

Limit = [2 - 0] / [4 * (akar(0 + 0) + akar(0 + 0))]
Limit = 2 / [4 * (akar(0) + akar(0))]
Limit = 2 / [4 * (0 + 0)]
Limit = 2 / [4 * 0]
Limit = 2 / 0

Karena pembaginya adalah 0, ini menunjukkan bahwa limitnya adalah tak hingga. Namun, ada kesalahan dalam pembagian suku penyebut. Mari kita perbaiki.

Kembali ke:
Limit = lim x->tak hingga [2x - 5] / [4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9))]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:

Limit = lim x->tak hingga [(2x-5)/x] / [(4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9)))/x]
Limit = lim x->tak hingga [2 - 5/x] / [4 * (akar(5x+4) + akar(3x+9))/x]

Masukkan x ke dalam akar sebagai x^2:

Limit = lim x->tak hingga [2 - 5/x] / [4 * (akar((5x+4)/x^2) + akar((3x+9)/x^2))]
Limit = lim x->tak hingga [2 - 5/x] / [4 * (akar(5/x + 4/x^2) + akar(3/x + 9/x^2))]

Saat x mendekati tak hingga:
5/x -> 0
4/x^2 -> 0
3/x -> 0
9/x^2 -> 0

Limit = [2 - 0] / [4 * (akar(0 + 0) + akar(0 + 0))]
Limit = 2 / [4 * (0 + 0)]
Limit = 2 / 0

Ini masih mengarah ke tak hingga. Mari kita tinjau kembali soalnya. Jika ada kesalahan dalam penulisan soal, ini bisa menjadi penyebabnya. Namun, jika soalnya benar, kita perlu hati-hati dalam menyederhanakan.

Perhatikan kembali:
Limit = lim x->tak hingga [2x - 5] / [4x * (akar(5x+4) + akar(3x+9))]

Untuk limit tak hingga, kita perhatikan suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut.
Di pembilang, suku tertingginya adalah 2x.
Di penyebut, kita punya 4x dikalikan dengan (akar(5x) + akar(3x)) ketika x sangat besar.
Jadi, penyebut kira-kira 4x * (sqrt(5)sqrt(x) + sqrt(3)sqrt(x)) = 4x * (sqrt(5) + sqrt(3)) * sqrt(x) = 4(sqrt(5) + sqrt(3)) * x^(3/2).

Karena pangkat tertinggi di penyebut (3/2) lebih besar dari pangkat tertinggi di pembilang (1), maka limitnya adalah 0.

Mari kita gunakan metode pembagian dengan x pada setiap suku:

Limit = lim x->tak hingga (akar(5x+4)-akar(3x+9))/4x

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:

Limit = lim x->tak hingga [(akar(5x+4)/x) - (akar(3x+9)/x)] / (4x/x)

Masukkan x ke dalam akar sebagai x^2:

Limit = lim x->tak hingga [akar((5x+4)/x^2) - akar((3x+9)/x^2)] / 4
Limit = lim x->tak hingga [akar(5/x + 4/x^2) - akar(3/x + 9/x^2)] / 4

Saat x mendekati tak hingga:
5/x -> 0
4/x^2 -> 0
3/x -> 0
9/x^2 -> 0

Limit = [akar(0 + 0) - akar(0 + 0)] / 4
Limit = [0 - 0] / 4
Limit = 0 / 4
Limit = 0

Jadi, nilai limitnya adalah 0.