Nilai lim x -> tak hingga (akar((x+p)(x+q))-x) adalah ....

Nilai limitnya adalah (p+q)/2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari limit x -> tak hingga (akar((x+p)(x+q))-x), kita dapat menggunakan manipulasi aljabar dengan mengalikan bentuk sekawan.

Limit = lim x -> ∞ (√((x+p)(x+q)) - x)

Kita kalikan dengan sekawannya, yaitu (√((x+p)(x+q)) + x) / (√((x+p)(x+q)) + x):

Limit = lim x -> ∞ [ (√((x+p)(x+q)) - x) * (√((x+p)(x+q)) + x) ] / [ √((x+p)(x+q)) + x ]

Ini akan menghasilkan bentuk selisih kuadrat di pembilang (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:

Limit = lim x -> ∞ [ (x+p)(x+q) - x^2 ] / [ √((x+p)(x+q)) + x ]

Sekarang, ekspansi bagian (x+p)(x+q):
(x+p)(x+q) = x^2 + qx + px + pq
= x^2 + (p+q)x + pq

Substitusikan kembali ke dalam limit:

Limit = lim x -> ∞ [ x^2 + (p+q)x + pq - x^2 ] / [ √(x^2 + (p+q)x + pq) + x ]

Sederhanakan pembilang:

Limit = lim x -> ∞ [ (p+q)x + pq ] / [ √(x^2 + (p+q)x + pq) + x ]

Untuk menangani limit tak hingga, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x, yaitu x (atau √x^2 di dalam akar):

Limit = lim x -> ∞ [ ((p+q)x)/x + pq/x ] / [ √(x^2/x^2 + (p+q)x/x^2 + pq/x^2) + x/x ]

Limit = lim x -> ∞ [ (p+q) + pq/x ] / [ √(1 + (p+q)/x + pq/x^2) + 1 ]

Ketika x mendekati tak hingga, suku-suku dengan x di penyebut akan mendekati 0:

Limit = [ (p+q) + 0 ] / [ √(1 + 0 + 0) + 1 ]

Limit = (p+q) / (√1 + 1)

Limit = (p+q) / (1 + 1)

Limit = (p+q) / 2

Jadi, nilai dari lim x -> tak hingga (akar((x+p)(x+q))-x) adalah (p+q)/2.