Nilai limit x->0 (3x^2)/(cos 3x-cos x) adalah ...

-3/4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari fungsi \(\frac{3x^2}{\cos(3x)-\cos(x)}\) saat \(x \to 0\), kita dapat substitusi langsung nilai \(x=0\) ke dalam fungsi tersebut.

Jika kita substitusi \(x=0\): \(\frac{3(0)^2}{\cos(3\cdot0)-\cos(0)} = \frac{0}{\cos(0)-\cos(0)} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0}\).

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), kita perlu menggunakan metode lain, seperti aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor.

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika \(\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}\) menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\), maka \(\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\), asalkan limit di sisi kanan ada.

Dalam kasus ini, \(f(x) = 3x^2\) dan \(g(x) = \cos(3x)-\cos(x)\).

Turunan pertama dari \(f(x)\) adalah \(f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\).

Turunan pertama dari \(g(x)\) adalah \(g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(3x)-\cos(x))\).
Ingat bahwa turunan dari \(\cos(ax)\) adalah \(-a\sin(ax)\).
Maka, \(g'(x) = -3\sin(3x) - (-1\sin(x)) = -3\sin(3x) + \sin(x)\).

Sekarang kita hitung limit dari \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\):
\(\lim_{x\to 0} \frac{6x}{-3\sin(3x) + \sin(x)}\).

Jika kita substitusi \(x=0\) lagi, kita mendapatkan \(\frac{6(0)}{-3\sin(0) + \sin(0)} = \frac{0}{-3(0) + 0} = \frac{0}{0}\). Bentuk tak tentu masih ada, jadi kita terapkan Aturan L'Hopital lagi.

Turunan kedua dari \(f(x)\) adalah \(f''(x) = \frac{d}{dx}(6x) = 6\).

Turunan kedua dari \(g(x)\) adalah \(g''(x) = \frac{d}{dx}(-3\sin(3x) + \sin(x))\).
Ingat bahwa turunan dari \(\sin(ax)\) adalah \(a\cos(ax)\).
Maka, \(g''(x) = -3(3\cos(3x)) + \cos(x) = -9\cos(3x) + \cos(x)\).

Sekarang kita hitung limit dari \(\frac{f''(x)}{g''(x)}\):
\(\lim_{x\to 0} \frac{6}{-9\cos(3x) + \cos(x)}\).

Substitusikan \(x=0\):
\(\frac{6}{-9\cos(3\cdot0) + \cos(0)} = \frac{6}{-9\cos(0) + \cos(0)}
\(\frac{6}{-9(1) + 1} = \frac{6}{-9 + 1} = \frac{6}{-8}\).

Sederhanakan pecahan tersebut:
\(\frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}\).

Jadi, nilai dari limit \(\lim_{x\to 0} \frac{3x^2}{\cos(3x)-\cos(x)}\) adalah \(-\frac{3}{4}\).