Nilai limit x -> 0 ((akar(1-cos x))/x) adalah ....

Nilai limitnya adalah akar(2)/2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x -> 0 dari ((akar(1-cos x))/x), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya atau dengan menggunakan identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa 1 - cos x = 2 sin^2(x/2).
Substitusikan ini ke dalam ekspresi limit:
lim (x->0) (akar(2 sin^2(x/2))) / x
= lim (x->0) (akar(2) |sin(x/2)|) / x

Karena x mendekati 0, x/2 juga mendekati 0. Untuk nilai x yang mendekati 0, sin(x/2) positif, sehingga |sin(x/2)| = sin(x/2).
= lim (x->0) (akar(2) sin(x/2)) / x

Kita bisa menulis ulang x sebagai 2 * (x/2).
= lim (x->0) (akar(2) sin(x/2)) / (2 * (x/2))

Kita tahu bahwa lim (u->0) sin(u)/u = 1.
= (akar(2) / 2) * lim (x/2 -> 0) sin(x/2) / (x/2)
= (akar(2) / 2) * 1
= akar(2) / 2

Metode 2: Menggunakan aturan L'Hopital (jika diterapkan dengan hati-hati).
Jika kita substitusi x=0, kita mendapatkan 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu.
Turunan dari pembilang: d/dx (akar(1-cos x)) = (1/2 * (1-cos x)^(-1/2)) * (sin x) = sin x / (2 * akar(1-cos x))
Turunan dari penyebut: d/dx (x) = 1

Maka, limitnya menjadi:
lim (x->0) (sin x / (2 * akar(1-cos x))) / 1
= lim (x->0) sin x / (2 * akar(1-cos x))
Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Kita kembali ke hasil dari metode pertama, yang lebih langsung.
Nilai limitnya adalah akar(2) / 2.