Nilai limit x -> 0 (sin 4x)/(1-akar(1-x)) = ....

Nilai limitnya adalah 8.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $x \to 0 \frac{\sin 4x}{1-\sqrt{1-x}}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusi langsung $x=0$, akan menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Dalam kasus ini, $f(x) = \sin 4x$ dan $g(x) = 1-\sqrt{1-x}$.

Turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 4x) = 4 \cos 4x$.

Turunan dari $g(x)$ adalah $g'(x) = \frac{d}{dx}(1-\sqrt{1-x}) = \frac{d}{dx}(1 - (1-x)^{1/2}) = 0 - \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}(-1) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Sekarang, kita terapkan aturan L'Hopital:
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{1-\sqrt{1-x}} = \lim_{x\to 0} \frac{4 \cos 4x}{\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}$

Substitusikan $x=0$:
$= \frac{4 \cos (4 \times 0)}{\frac{1}{2\sqrt{1-0}}}$
$= \frac{4 \cos 0}{\frac{1}{2\sqrt{1}}}$
$= \frac{4 \times 1}{\frac{1}{2}}$
$= \frac{4}{1/2}$
$= 4 \times 2$
$= 8

Jadi, nilai limitnya adalah 8.