Tentukan akar-akar dari persamaan-persamaan berikut.

Akar-akarnya adalah 0 (ganda), -2, 4, $-1 + i\sqrt{11}$, dan $-1 - i\sqrt{11}$.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar dari persamaan $x^6 - 40x^3 - 96x^2 = 0$, kita bisa melakukan faktorisasi.

Pertama, kita perhatikan bahwa kedua suku memiliki faktor $x^2$. Kita bisa memfaktorkannya keluar:
$x^2(x^4 - 40x - 96) = 0$

Dari sini, kita sudah mendapatkan satu akar, yaitu $x^2 = 0$, yang berarti $x = 0$ (akar ganda).

Sekarang kita fokus pada persamaan polinomial derajat empat: $x^4 - 40x - 96 = 0$. Persamaan ini tidak mudah difaktorkan secara langsung. Namun, jika kita melihat soal ini dalam konteks ujian atau latihan, seringkali ada akar-akar bilangan bulat yang bisa dicari menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika ada akar rasional $p/q$, maka $p$ adalah faktor dari konstanta (di sini -96) dan $q$ adalah faktor dari koefisien suku utama (di sini 1).

Mari kita coba beberapa faktor dari -96:

Coba $x = 1$: $1^4 - 40(1) - 96 = 1 - 40 - 96 = -135 \neq 0$
Coba $x = -1$: $(-1)^4 - 40(-1) - 96 = 1 + 40 - 96 = -55 \neq 0$
Coba $x = 2$: $2^4 - 40(2) - 96 = 16 - 80 - 96 = -160 \neq 0$
Coba $x = -2$: $(-2)^4 - 40(-2) - 96 = 16 + 80 - 96 = 0$. Jadi, $x = -2$ adalah salah satu akar.

Karena $x = -2$ adalah akar, maka $(x+2)$ adalah faktor dari $x^4 - 40x - 96$. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau substitusi untuk mencari faktor lainnya. Namun, ada kesalahan penulisan dalam soal asli yang mungkin dimaksudkan adalah $x^6 - 40x^3 - 96 = 0$ atau ada kesalahan dalam koefisiennya. Jika kita asumsikan ada kesalahan ketik pada soal asli dan seharusnya adalah $x^6 - 40x^3 + 96 = 0$, atau $x^6 - 40x^3 - 96x^2=0$ dengan maksud mencari akar dari $x^2(x^4-40x-96)=0$, maka akar-akarnya adalah $x=0$ (ganda) dan akar dari $x^4-40x-96=0$ yang salah satunya adalah $x=-2$.

*Asumsi soal adalah $x^6-40x^3-96x^2=0$*

Kita sudah faktorkan menjadi $x^2(x^4 - 40x - 96) = 0$.
Satu akar adalah $x=0$ (kembar).
Untuk $x^4 - 40x - 96 = 0$, kita menemukan bahwa $x = -2$ adalah akar.
Mari kita coba membagi $x^4 - 40x - 96$ dengan $(x+2)$:

```
      x^3 - 2x^2 + 4x - 48
    ____________________
x+2 | x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 40x - 96
      -(x^4 + 2x^3)
      ____________
           -2x^3 + 0x^2
          -(-2x^3 - 4x^2)
          ____________
                 4x^2 - 40x
                -(4x^2 + 8x)
                __________
                     -48x - 96
                    -(-48x - 96)
                    __________
                           0
```

Jadi, $x^4 - 40x - 96 = (x+2)(x^3 - 2x^2 + 4x - 48) = 0$.
Sekarang kita perlu mencari akar dari $x^3 - 2x^2 + 4x - 48 = 0$.
Mari kita coba lagi dengan faktor dari -48.
Coba $x = 4$: $4^3 - 2(4^2) + 4(4) - 48 = 64 - 2(16) + 16 - 48 = 64 - 32 + 16 - 48 = 32 + 16 - 48 = 48 - 48 = 0$. Jadi, $x = 4$ adalah akar.

Karena $x = 4$ adalah akar, maka $(x-4)$ adalah faktor dari $x^3 - 2x^2 + 4x - 48$.

```
      x^2 + 2x + 12
    ________________
x-4 | x^3 - 2x^2 + 4x - 48
      -(x^3 - 4x^2)
      ____________
            2x^2 + 4x
           -(2x^2 - 8x)
           __________
                 12x - 48
                -(12x - 48)
                __________
                       0
```

Jadi, $x^3 - 2x^2 + 4x - 48 = (x-4)(x^2 + 2x + 12) = 0$.
Sekarang kita perlu mencari akar dari $x^2 + 2x + 12 = 0$.
Kita gunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$a=1, b=2, c=12$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 48}}{2}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-44}}{2}$
$x = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{11}}{2}$
$x = -1 \pm i\sqrt{11}$

Jadi, akar-akar dari persamaan $x^6 - 40x^3 - 96x^2 = 0$ adalah:
$x = 0$ (akar ganda)
$x = -2$
$x = 4$
$x = -1 + i\sqrt{11}$
$x = -1 - i\sqrt{11}$

**Jawaban Ringkas:**
Akar-akar persamaan tersebut adalah 0 (ganda), -2, 4, $-1 + i\sqrt{11}$, dan $-1 - i\sqrt{11}$.