Nilai limit x->1 ((akar(5-x)-2)(akar(2-x)+1))/(1-x)

1/2

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari \(\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}\), kita dapat mencoba substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menggunakan metode lain seperti mengalikan dengan akar sekawan atau menggunakan aturan L'Hopital.

Substitusi \(x = 1\) ke dalam fungsi:
Pembilang: \((\sqrt{5-1}-2)(\sqrt{2-1}+1) = (\sqrt{4}-2)(\sqrt{1}+1) = (2-2)(1+1) = 0 \times 2 = 0\)
Penyebut: \(1-1 = 0\)
Karena hasilnya adalah \(0/0\), kita gunakan metode perkalian dengan akar sekawan untuk \(\sqrt{5-x}-2\).

\(\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)}{1-x} \times \lim_{x \to 1} (\sqrt{2-x}+1)\)

Kita fokus pada bagian pertama:
\(\frac{\sqrt{5-x}-2}{1-x} \times \frac{\sqrt{5-x}+2}{\sqrt{5-x}+2} = \frac{(5-x)-4}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)} = \frac{1-x}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{5-x}+2}\)

Sekarang substitusikan kembali ke limit:
\(\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{5-x}+2} \times \lim_{x \to 1} (\sqrt{2-x}+1)\)

Untuk bagian pertama:
\(\frac{1}{\sqrt{5-1}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}\)

Untuk bagian kedua:
\(\sqrt{2-1}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2\)

Jadi, hasil perkaliannya adalah \(\frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}\).