Nilai limit x -> 2 (x^3 - 8)/(x^2 - x -2) =

4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari fungsi $\frac{x^3 - 8}{x^2 - x - 2}$ saat $x$ mendekati 2, kita bisa menggunakan metode substitusi langsung. Namun, jika kita substitusikan $x=2$ akan menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu, baik dengan faktorisasi maupun dengan aturan L'Hopital.

**Metode Faktorisasi:**
Faktorkan pembilang dan penyebut:
Pembilang: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
Penyebut: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

Sehingga, fungsi menjadi: $\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 1)}$
Kita bisa mencoret faktor $(x - 2)$ karena $x \neq 2$ saat mencari limit:
$\frac{x^2 + 2x + 4}{x + 1}$
Sekarang substitusikan $x = 2$:
$\frac{2^2 + 2(2) + 4}{2 + 1} = \frac{4 + 4 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$

**Metode Aturan L'Hopital:**
Karena substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang ($x^3 - 8$) adalah $3x^2$.
Turunan penyebut ($x^2 - x - 2$) adalah $2x - 1$.

Sehingga, limitnya menjadi: $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2}{2x - 1}$
Sekarang substitusikan $x = 2$:
$\frac{3(2^2)}{2(2) - 1} = \frac{3(4)}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4$

Jadi, nilai limit dari $\frac{x^3 - 8}{x^2 - x - 2}$ saat $x$ mendekati 2 adalah 4.