Nilai limit x mendekati tak hingga akar(x+1-2)/(x-1)= ....

Nilai limit adalah 0.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari nilai limit fungsi ketika x mendekati tak hingga.
Fungsi yang diberikan adalah: f(x) = (√(x+1) - 2) / (x-1)

Kita ingin mencari: lim (x→∞) [(√(x+1) - 2) / (x-1)]

Ketika x mendekati tak hingga, pembilang (√(x+1) - 2) juga mendekati tak hingga, dan penyebut (x-1) juga mendekati tak hingga. Ini adalah bentuk tak tentu ∞/∞.

Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu ini, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x.
Namun, cara yang lebih umum untuk bentuk yang melibatkan akar adalah mengalikan dengan bentuk konjugatnya.

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu (√(x+1) + 2):

lim (x→∞) [(√(x+1) - 2) / (x-1)] * [(√(x+1) + 2) / (√(x+1) + 2)]

= lim (x→∞) [ (√(x+1))^2 - 2^2 ] / [ (x-1)(√(x+1) + 2) ]
= lim (x→∞) [ (x+1) - 4 ] / [ (x-1)(√(x+1) + 2) ]
= lim (x→∞) [ x - 3 ] / [ (x-1)(√(x+1) + 2) ]

Sekarang, perhatikan perilaku suku-suku dengan pangkat tertinggi saat x mendekati tak hingga:
Di pembilang, suku dengan pangkat tertinggi adalah x.
Di penyebut, kita punya (x-1) yang berperilaku seperti x, dan (√(x+1) + 2) yang berperilaku seperti √x.
Jadi, penyebut berperilaku seperti x * √x = x^(3/2).

Limitnya menjadi:
lim (x→∞) x / (x * √x)
= lim (x→∞) 1 / √x

Ketika x mendekati tak hingga, √x juga mendekati tak hingga. Maka, 1 dibagi dengan bilangan yang sangat besar akan mendekati 0.

Jadi, nilai limitnya adalah 0.

Jawaban: Nilai limit x mendekati tak hingga dari (√(x+1) - 2) / (x-1) adalah 0.