Perhatikan data nilai siswa berikut. Nilai f 60-65 8 66-71

Batas nilai minimal adalah 73.5 (persentil ke-30), namun tidak ada dalam pilihan.

Pembahasan

Untuk menentukan batas nilai minimal siswa yang harus mengikuti remedial, kita perlu mencari nilai yang membatasi 30% siswa dengan nilai tertinggi. Pertama, kita perlu menentukan titik tengah untuk setiap interval kelas.

| Nilai     | f  | Titik Tengah (xi) | fi.xi   |
|-----------|----|-------------------|---------|
| 60-65     | 8  | 62.5              | 500     |
| 66-71     | 13 | 68.5              | 889.5   |
| 72-77     | 18 | 74.5              | 1341    |
| 78-83     | 28 | 80.5              | 2254    |
| 84-89     | 14 | 86.5              | 1211    |
| 90-95     | 9  | 92.5              | 832.5   |
| Jumlah    | 90 |                   | 7528    |

Jumlah siswa = 90.
30% dari jumlah siswa = 0.30 * 90 = 27 siswa.

Kita perlu mencari nilai di mana kumulatif frekuensi mencapai 27 dari kelas tertinggi.
Kumulatif frekuensi dari kelas tertinggi:
Kelas 90-95: 9 siswa
Kelas 84-89: 9 + 14 = 23 siswa
Kelas 78-83: 23 + 28 = 51 siswa

Ini berarti batas nilai minimal untuk remedial berada pada kelas 78-83, karena kumulatif frekuensi melewati 27 pada kelas ini.

Kita gunakan rumus batas kelas untuk data berkelompok:
Batas bawah kelas remedial (L) = 78 - 0.5 = 77.5
Jumlah siswa sebelum kelas remedial (F) = 23
Frekuensi kelas remedial (f) = 28
Persentil ke-70 (karena 30% teratas, maka 70% terbawah) = 0.70 * 90 = 63 (seharusnya kita mencari nilai yang membatasi 30% teratas, jadi kita cari nilai batas ke-70).

Nilai = L + ((N*P - F) / f) * C
Di mana:
L = batas bawah kelas yang memuat persentil (77.5)
N = jumlah total data (90)
P = persentil yang dicari (0.70 untuk 70% terbawah)
F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil (23)
f = frekuensi kelas yang memuat persentil (28)
C = panjang interval kelas (66-60 = 6, 72-66 = 6, dst. Jadi C = 6)

Nilai = 77.5 + ((90 * 0.70 - 23) / 28) * 6
Nilai = 77.5 + ((63 - 23) / 28) * 6
Nilai = 77.5 + (40 / 28) * 6
Nilai = 77.5 + (10 / 7) * 6
Nilai = 77.5 + 60 / 7
Nilai = 77.5 + 8.57 (kira-kira)
Nilai = 86.07

Mari kita cek kembali persentil yang dicari. Jika 30% siswa harus remedial, berarti 70% siswa tidak remedial (di atas batas). Kita mencari nilai batas ke-70.

Nilai = L + ((N*P - F) / f) * C
Nilai = 77.5 + ((90 * 0.70 - 23) / 28) * 6
Nilai = 77.5 + ((63 - 23) / 28) * 6
Nilai = 77.5 + (40 / 28) * 6
Nilai = 77.5 + 8.57
Nilai = 86.07

Jika 30% siswa mengikuti remedial, maka batas minimal adalah nilai di mana 70% siswa berada di atasnya. Ini berarti kita mencari nilai kuartil ke-3 atau persentil ke-70.

Kelas yang memuat persentil ke-70 adalah kelas 78-83 karena frekuensi kumulatifnya adalah 51.
L = 77.5
F = 23 (frekuensi kumulatif sebelum kelas 78-83)
f = 28 (frekuensi kelas 78-83)
N = 90
P = 0.70
C = 6

Nilai batas = 77.5 + ((90 * 0.70 - 23) / 28) * 6
Nilai batas = 77.5 + ((63 - 23) / 28) * 6
Nilai batas = 77.5 + (40 / 28) * 6
Nilai batas = 77.5 + 8.57
Nilai batas = 86.07

Karena nilai yang dihitung adalah 86.07, yang berada di dalam interval 84-89, maka kita perlu menggunakan interval tersebut.

Kelas yang memuat nilai ke-27 dari belakang (atau nilai ke-64 dari depan jika kita mencari 70% teratas) adalah kelas 84-89.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Kita perlu mencari nilai di mana 27 siswa memiliki nilai di atasnya.
Jumlah siswa di kelas 90-95 = 9
Jumlah siswa di kelas 84-89 = 14
Jumlah siswa di kelas 78-83 = 28

Dari belakang, 9 siswa di kelas 90-95.
70% siswa = 63 siswa.
27 siswa yang remedial berarti 63 siswa yang tidak remedial.
Kita cari nilai di mana kumulatif frekuensi dari atas mencapai 27.

Kelas 84-89: 14 siswa
Kelas 90-95: 9 siswa

Ini berarti 9 siswa (kelas 90-95) dan 14 siswa (kelas 84-89) memiliki nilai tertinggi. Total 23 siswa.
Kita perlu 4 siswa lagi dari kelas berikutnya (78-83).

Batas bawah kelas 78-83 adalah 77.5.
Batas atas kelas 78-83 adalah 83.5.
Panjang kelas adalah 6.

Kita perlu 4 siswa dari frekuensi 28 pada kelas 78-83.
Nilai = Batas atas kelas sebelumnya + (sisa siswa / frekuensi kelas) * panjang kelas
Nilai = 83.5 + ((27 - 23) / 28) * 6
Nilai = 83.5 + (4 / 28) * 6
Nilai = 83.5 + (1 / 7) * 6
Nilai = 83.5 + 6 / 7
Nilai = 83.5 + 0.857
Nilai = 84.357

Ini berarti batas nilai minimal adalah sekitar 84.36. Jika kita melihat pilihan yang ada, pilihan yang paling mendekati adalah 84 cm jika nilai tersebut dibulatkan ke bawah, namun ini adalah batas nilai, jadi kita perlu menentukan batas sebenarnya.

Mari kita gunakan persentil untuk mencari nilai batas minimal 30% siswa yang remedial, yang berarti kita mencari nilai pada persentil ke-70 (P70).

Kelas persentil ke-70: Frekuensi kumulatif 23 (kelas 84-89) dan 51 (kelas 78-83). Maka persentil ke-70 berada di kelas 78-83.

L = 77.5 (batas bawah kelas 78-83)
n = 90 (jumlah data)
k = 70 (persentil yang dicari)
F = 23 (frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil)
f = 28 (frekuensi kelas persentil)
c = 6 (panjang interval kelas)

Nilai P70 = L + ((n*(k/100) - F) / f) * c
Nilai P70 = 77.5 + ((90 * (70/100)) - 23) / 28 * 6
Nilai P70 = 77.5 + ((63) - 23) / 28 * 6
Nilai P70 = 77.5 + (40 / 28) * 6
Nilai P70 = 77.5 + (10 / 7) * 6
Nilai P70 = 77.5 + 60 / 7
Nilai P70 = 77.5 + 8.57
Nilai P70 = 86.07

Nilai 86.07 berada pada interval 84-89. Maka batas nilai minimal adalah 86.07.

Jika kita memilih opsi a. 3 cm, b. 4 cm, c. 5,3 cm, d. 12 cm, ini sepertinya tidak relevan dengan perhitungan.

Asumsikan ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban. Jika kita menginterpretasikan "batas nilai minimal adalah ..." sebagai nilai yang harus dicapai agar tidak remedial, maka nilai tersebut adalah 86.07.

Namun, jika kita mengacu pada data dan konteks soal, batas nilai minimal yang memisahkan 70% teratas dari 30% terbawah adalah nilai pada persentil ke-30. Mari kita hitung persentil ke-30.

Kelas persentil ke-30: Frekuensi kumulatif 8 (kelas 60-65), 21 (kelas 66-71), 39 (kelas 72-77). Maka persentil ke-30 berada di kelas 72-77.

L = 71.5
n = 90
k = 30
F = 21
f = 18
c = 6

Nilai P30 = 71.5 + ((90 * 0.30) - 21) / 18 * 6
Nilai P30 = 71.5 + ((27) - 21) / 18 * 6
Nilai P30 = 71.5 + (6 / 18) * 6
Nilai P30 = 71.5 + (1 / 3) * 6
Nilai P30 = 71.5 + 2
Nilai P30 = 73.5

Ini berarti 30% siswa terbawah memiliki nilai di bawah 73.5. Maka 70% siswa teratas memiliki nilai di atas 73.5. Jika 30% siswa harus remedial, maka batas nilai minimalnya adalah 73.5. Namun ini tidak ada di pilihan.

Mari kita asumsikan pertanyaan "batas nilai minimal adalah" mengacu pada nilai persentil ke-30 dari data, yang berarti nilai di bawah ini adalah 30% siswa terbawah. Jika 30% siswa harus remedial, maka batas minimalnya adalah persentil ke-30.

Nilai persentil ke-30 berada di kelas 72-77.
L = 71.5
F = 21 (frekuensi kumulatif sebelum kelas 72-77)
f = 18 (frekuensi kelas 72-77)
c = 6

Nilai = 71.5 + ((90 * 0.30 - 21) / 18) * 6
Nilai = 71.5 + ((27 - 21) / 18) * 6
Nilai = 71.5 + (6 / 18) * 6
Nilai = 71.5 + (1/3) * 6
Nilai = 71.5 + 2
Nilai = 73.5

Karena pilihan jawaban tidak ada yang mendekati 73.5, mari kita periksa soal #4 dan #5 terlebih dahulu.

Jika kita harus memilih dari pilihan yang diberikan dan mengasumsikan soal merujuk pada salah satu gambar yang tidak disertakan, maka kita tidak dapat menjawab soal ini dengan pasti. Namun, jika kita berasumsi ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya merujuk pada salah satu perhitungan yang telah kita lakukan, 73.5 adalah nilai persentil ke-30.

Tanpa gambar untuk soal #4, kita tidak dapat menjawabnya.

Untuk soal #5, nilai limit x mendekati tak hingga dari sqrt(x+1-2)/(x-1) adalah:
lim (x->inf) (sqrt(x+1) - 2) / (x-1)
Jika kita substitusi x = inf, kita mendapatkan bentuk tak tentu (inf / inf).
Kita bisa kalikan dengan konjugat dari pembilang:
lim (x->inf) [(sqrt(x+1) - 2) / (x-1)] * [(sqrt(x+1) + 2) / (sqrt(x+1) + 2)]
= lim (x->inf) [(x+1) - 4] / [(x-1)(sqrt(x+1) + 2)]
= lim (x->inf) (x-3) / [(x-1)(sqrt(x+1) + 2)]

Untuk x yang sangat besar, x-3 ~ x dan x-1 ~ x.
Sehingga limitnya menjadi:
lim (x->inf) x / [x * sqrt(x)]
= lim (x->inf) 1 / sqrt(x)
= 0

Jadi, jawaban untuk soal #5 adalah 0.

Mengingat tidak ada pilihan jawaban yang sesuai untuk soal #2 dan #4 tidak memiliki gambar, saya hanya bisa memberikan jawaban untuk soal #1, #3, dan #5.

Untuk soal #2, batas nilai minimal adalah 73.5 jika mengacu pada persentil ke-30. Namun, tanpa pilihan yang tepat, soal ini tidak dapat dijawab dengan pasti dari pilihan yang diberikan.

Jawaban untuk soal #2 tidak dapat ditentukan dari pilihan yang ada.

Untuk soal #4, gambar lingkaran tidak disertakan, sehingga tidak dapat dijawab.