Nilai limit x->-3 (x^2+6x+9)/(2-2cos(2x+6))=....

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x->-3 (x^2+6x+9)/(2-2cos(2x+6)), kita pertama-tama substitusikan nilai x = -3 ke dalam fungsi.

Pembilang: (-3)^2 + 6(-3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0
Penyebut: 2 - 2cos(2(-3)+6) = 2 - 2cos(-6+6) = 2 - 2cos(0) = 2 - 2(1) = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan manipulasi aljabar:
Perhatikan bahwa pembilang adalah bentuk kuadrat sempurna: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2.
Untuk penyebut, kita bisa memfaktorkan 2: 2(1 - cos(2x + 6)).
Kita tahu bahwa 1 - cos(2θ) = 2sin^2(θ).
Jadi, 1 - cos(2x + 6) = 2sin^2(x + 3).
Penyebut menjadi: 2 * (2sin^2(x + 3)) = 4sin^2(x + 3).

Limit menjadi: lim x->-3 (x + 3)^2 / (4sin^2(x + 3))

Kita tahu bahwa lim θ->0 sin(θ)/θ = 1, sehingga lim θ->0 θ/sin(θ) = 1.
Kita bisa menulis ulang limit sebagai:
lim x->-3 [(x + 3)/sin(x + 3)]^2 * (1/4)

Misalkan y = x + 3. Ketika x -> -3, maka y -> 0.
Limit menjadi: lim y->0 [y/sin(y)]^2 * (1/4)
= (lim y->0 y/sin(y))^2 * (1/4)
= (1)^2 * (1/4)
= 1/4

Jadi, nilai limitnya adalah 1/4.