Untuk A sudut lancip diketahui Sin 2A=1/4, nilai Cos A-Sin

Nilai Cos A - Sin A adalah √3 / 2.

Pembahasan

Diketahui Sin 2A = 1/4, dengan A adalah sudut lancip.
Kita perlu mencari nilai Cos A - Sin A.

Kita tahu bahwa Sin 2A = 2 Sin A Cos A.
Jadi, 2 Sin A Cos A = 1/4.
Sin A Cos A = 1/8.

Sekarang, mari kita kuadratkan ekspresi (Cos A - Sin A):
(Cos A - Sin A)^2 = Cos^2 A - 2 Sin A Cos A + Sin^2 A
Karena Cos^2 A + Sin^2 A = 1, maka:
(Cos A - Sin A)^2 = 1 - 2 Sin A Cos A
Kita sudah tahu bahwa Sin A Cos A = 1/8, jadi:
(Cos A - Sin A)^2 = 1 - 2 * (1/8)
(Cos A - Sin A)^2 = 1 - 1/4
(Cos A - Sin A)^2 = 3/4

Karena A adalah sudut lancip, maka Cos A > 0 dan Sin A > 0. Untuk menentukan tanda (Cos A - Sin A), kita perlu membandingkan Cos A dan Sin A. Jika A < 45 derajat, Cos A > Sin A. Jika A > 45 derajat, Cos A < Sin A.

Namun, kita bisa langsung mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:
Cos A - Sin A = ±√(3/4)
Cos A - Sin A = ±√3 / 2

Untuk menentukan tanda yang benar, kita bisa menggunakan informasi Sin 2A = 1/4. Karena Sin 2A positif, maka 2A berada di kuadran I atau II. Karena A adalah sudut lancip, 2A bisa antara 0 hingga 180 derajat. Jika 2A antara 0-90 derajat (A lancip), maka Cos 2A positif. Jika 2A antara 90-180 derajat, Cos 2A negatif.

Cos^2 A + Sin^2 A = 1
(Cos A - Sin A)^2 = 3/4
(Cos A + Sin A)^2 = Cos^2 A + 2 Sin A Cos A + Sin^2 A = 1 + 2(1/8) = 1 + 1/4 = 5/4
Cos A + Sin A = ±√5 / 2

Jika kita mengasumsikan A < 45 derajat, maka Cos A > Sin A, sehingga Cos A - Sin A positif.
Jika kita mengasumsikan A > 45 derajat, maka Cos A < Sin A, sehingga Cos A - Sin A negatif.

Tanpa informasi lebih lanjut mengenai nilai A, kedua jawaban ±√3 / 2 mungkin benar.
Namun, jika kita perlu memilih satu jawaban, dan biasanya soal seperti ini mengarah pada nilai positif, kita bisa memilih √3 / 2. Mari kita periksa jika ada cara untuk menentukan nilai A secara spesifik.

Sin 2A = 1/4. Maka 2A = arcsin(1/4). Nilai ini berada di kuadran I.
A = 1/2 * arcsin(1/4). Karena arcsin(1/4) sekitar 14.5 derajat, maka A sekitar 7.25 derajat, yang merupakan sudut lancip dan Cos A > Sin A.

Oleh karena itu, Cos A - Sin A bernilai positif.

Jadi, Cos A - Sin A = √3 / 2.