Nilai minimum dari fungsi obyektif f(x, y)=3x+6y yang

Nilai minimumnya adalah 15.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi obyektif $f(x, y)=3x+6y$ yang memenuhi sistem pertidaksamaan $4x+y \ge 20$, $x+y \le 20$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut, lalu substitusikan titik-titik pojok tersebut ke dalam fungsi obyektif.

Langkah 1: Gambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
- $4x+y = 20$: Jika $x=0, y=20$. Jika $y=0, x=5$. Titik (0, 20) dan (5, 0).
- $x+y = 20$: Jika $x=0, y=20$. Jika $y=0, x=20$. Titik (0, 20) dan (20, 0).
- $x=0$: Sumbu y.
- $y=0$: Sumbu x.

Langkah 2: Tentukan titik-titik pojok.
Titik pojok adalah perpotongan dari garis-garis batas:
1. Perpotongan $4x+y=20$ dan $x=0$: $4(0)+y=20 
ightarrow y=20$. Titik (0, 20).
2. Perpotongan $x+y=20$ dan $y=0$: $x+0=20 
ightarrow x=20$. Titik (20, 0).
3. Perpotongan $4x+y=20$ dan $x+y=20$:
   Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
   $(4x+y) - (x+y) = 20 - 20$
   $3x = 0 
ightarrow x = 0$.
   Substitusikan $x=0$ ke $x+y=20$: $0+y=20 
ightarrow y=20$. Titik (0, 20).
   Sepertinya ada kesalahan dalam menentukan titik perpotongan.
   Mari kita ulangi:
   $4x+y=20$ (1)
   $x+y=20$ (2)
   Kurangkan (2) dari (1): $(4x+y)-(x+y) = 20-20 
ightarrow 3x=0 
ightarrow x=0$. Ini salah.

   Mari kita kurangkan (1) dari (2) agar lebih mudah:
   $(x+y) - (4x+y) = 20-20 
ightarrow -3x = 0 
ightarrow x = 0$. Masih sama.

   Coba kita eliminasi y:
   $4x+y = 20$
   $x+y = 20$
   Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: $3x = 0 
ightarrow x=0$. Ini berarti kedua garis berpotongan di sumbu y pada titik (0,20).

   Mari kita periksa kembali pertidaksamaan:
   $4x+y \ge 20$: Daerah di atas garis $4x+y=20$.
   $x+y \le 20$: Daerah di bawah garis $x+y=20$.
   $x \ge 0, y \ge 0$: Kuadran I.

   Titik-titik pojok adalah:
   1. Perpotongan $4x+y=20$ dan $x=0$: $4(0)+y=20 
ightarrow y=20$. Titik (0, 20).
   2. Perpotongan $x+y=20$ dan $y=0$: $x+0=20 
ightarrow x=20$. Titik (20, 0).
   3. Perpotongan $4x+y=20$ dan $y=0$: $4x+0=20 
ightarrow x=5$. Titik (5, 0).
   4. Perpotongan $x+y=20$ dan $x=0$: $0+y=20 
ightarrow y=20$. Titik (0, 20).

   Daerah yang memenuhi adalah segitiga dengan titik pojok (5, 0), (20, 0), dan (0, 20). Ini juga salah karena ada pertidaksamaan $x+y \le 20$ dan $4x+y \ge 20$.

   Mari kita cari perpotongan yang benar antara $4x+y=20$ dan $x+y=20$. Ternyata kedua garis berpotongan di (0,20).
   Ini berarti daerah yang dibatasi adalah segitiga dengan titik pojok:
   - Perpotongan $4x+y=20$ dan $y=0$: (5, 0).
   - Perpotongan $x+y=20$ dan $x=0$: (0, 20).
   - Perpotongan $4x+y=20$ dan $x+y=20$: (0, 20). Ini juga salah.

   Perpotongan antara $4x+y=20$ dan $x+y=20$:
   $y = 20 - 4x$. Substitusikan ke persamaan kedua:
   $x + (20 - 4x) = 20$
   $x + 20 - 4x = 20$
   $-3x = 0 
ightarrow x=0$.
   Jika $x=0$, maka $y=20$. Titik perpotongannya adalah (0, 20).

   Sekarang kita perlu mempertimbangkan daerah yang dibatasi oleh $x \ge 0, y \ge 0$, $4x+y \ge 20$, dan $x+y \le 20$.
   Titik pojok yang relevan adalah:
   1. Perpotongan $4x+y=20$ dan $x=0$: $y=20$. Titik (0, 20).
   2. Perpotongan $x+y=20$ dan $y=0$: $x=20$. Titik (20, 0).
   3. Perpotongan $4x+y=20$ dan $y=0$: $4x=20 
ightarrow x=5$. Titik (5, 0).

   Mari kita uji titik di dalam daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut. Ambil (10, 5):
   $4(10)+5 = 45 \ge 20$ (Benar)
   $10+5 = 15 \le 20$ (Benar)
   $10 \ge 0, 5 \ge 0$ (Benar)

   Titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi adalah:
   - Titik A: Perpotongan $4x+y=20$ dan $x=0$ adalah (0, 20).
   - Titik B: Perpotongan $4x+y=20$ dan $y=0$ adalah (5, 0).
   - Titik C: Perpotongan $x+y=20$ dan $y=0$ adalah (20, 0).
   - Titik D: Perpotongan $x+y=20$ dan $x=0$ adalah (0, 20). Titik A dan D sama.

   Perlu ada perpotongan lain. Perhatikan bahwa daerah yang dimaksud adalah poligon dengan titik-titik sudut:
   - (5, 0) [perpotongan $4x+y=20$ dengan sumbu x]
   - (20, 0) [perpotongan $x+y=20$ dengan sumbu x]
   - (0, 20) [perpotongan $4x+y=20$ dan $x+y=20$ dengan sumbu y]

   Titik pojok yang sah adalah (5, 0), (20, 0), dan (0, 20). Namun, perpotongan $4x+y=20$ dan $x+y=20$ adalah (0,20).
   Mari kita cari perpotongan $4x+y=20$ dengan $x+y=20$ lagi.
   $y = 20-x$. Substitusikan ke $4x+y=20$: $4x + (20-x) = 20 
ightarrow 3x+20=20 
ightarrow 3x=0 
ightarrow x=0$. Jika $x=0$, $y=20$. Jadi titik potongnya adalah (0,20).

   Perpotongan $4x+y=20$ dengan $y=0$: $4x=20 
ightarrow x=5$. Titik (5,0).
   Perpotongan $x+y=20$ dengan $x=0$: $y=20$. Titik (0,20).
   Perpotongan $x+y=20$ dengan $y=0$: $x=20$. Titik (20,0).

   Titik-titik pojok yang perlu diuji adalah:
   1. (5, 0): $f(5,0) = 3(5) + 6(0) = 15 + 0 = 15$.
   2. (20, 0): $f(20,0) = 3(20) + 6(0) = 60 + 0 = 60$.
   3. (0, 20): $f(0,20) = 3(0) + 6(20) = 0 + 120 = 120$.

   Nilai minimum dari fungsi obyektif adalah 15.