Nilai limit x mendekati tak hingga (2x - akar(4x^2+x+3))

-1/4

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x mendekati tak hingga dari ekspresi (2x - akar(4x^2+x+3)), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satu metode yang umum adalah dengan memfaktorkan keluar x dari bawah akar dan kemudian mengalikannya dengan bentuk sekawan.

Langkah 1: Manipulasi aljabar pada ekspresi.
Kita punya limit x → ∞ (2x - √(4x^2+x+3)).
Kita bisa memisalkan ekspresi ini sebagai L.
L = lim (x → ∞) [ 2x - √(4x^2+x+3) ]

Untuk menghilangkan bentuk tak tentu ∞ - ∞, kita kalikan dengan bentuk sekawannya, yaitu (2x + √(4x^2+x+3)) / (2x + √(4x^2+x+3)).

L = lim (x → ∞) [ (2x - √(4x^2+x+3)) * (2x + √(4x^2+x+3)) / (2x + √(4x^2+x+3)) ]

L = lim (x → ∞) [ ( (2x)^2 - (√(4x^2+x+3))^2 ) / (2x + √(4x^2+x+3)) ]

L = lim (x → ∞) [ (4x^2 - (4x^2+x+3)) / (2x + √(4x^2+x+3)) ]

L = lim (x → ∞) [ (4x^2 - 4x^2 - x - 3) / (2x + √(4x^2+x+3)) ]

L = lim (x → ∞) [ (-x - 3) / (2x + √(4x^2+x+3)) ]

Langkah 2: Membagi pembilang dan penyebut dengan x.
Karena kita mencari limit x mendekati tak hingga, kita bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x.

Perhatikan bahwa di penyebut, kita punya √(4x^2+x+3). Karena x → ∞, maka x positif, sehingga √(x^2) = x. Kita bisa keluarkan x^2 dari bawah akar:
√(4x^2+x+3) = √(x^2 (4 + 1/x + 3/x^2)) = |x| √(4 + 1/x + 3/x^2).
Karena x → ∞, |x| = x.
Jadi, √(4x^2+x+3) = x √(4 + 1/x + 3/x^2).

Sekarang, kembali ke ekspresi limit:
L = lim (x → ∞) [ (-x - 3) / (2x + x√(4 + 1/x + 3/x^2)) ]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
L = lim (x → ∞) [ (-1 - 3/x) / (2 + √(4 + 1/x + 3/x^2)) ]

Langkah 3: Substitusi nilai limit.
Saat x → ∞, maka 3/x → 0, 1/x → 0, dan 3/x^2 → 0.

L = [ (-1 - 0) / (2 + √(4 + 0 + 0)) ]

L = [ -1 / (2 + √4) ]

L = [ -1 / (2 + 2) ]

L = -1 / 4

Jadi, nilai limit x mendekati tak hingga dari (2x - akar(4x^2+x+3)) adalah -1/4.