Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathProgram Linear

Nilai maksimum dari F = 2x + 3y pada daerah 3x+y>=9,

Pertanyaan

Tentukan nilai maksimum dari F = 2x + 3y pada daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan 3x+y>=9, 3x+2y<=12, x>=0, dan y>=0!

Solusi

Verified

13

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan F = 2x + 3y pada daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan linear, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut. Pertidaksamaan yang diberikan: 1. 3x + y >= 9 2. 3x + 2y <= 12 3. x >= 0 4. y >= 0 Langkah 1: Cari titik potong dari setiap garis batas. - Garis 1: 3x + y = 9 - Jika x = 0, y = 9. Titik (0, 9) - Jika y = 0, 3x = 9 => x = 3. Titik (3, 0) - Garis 2: 3x + 2y = 12 - Jika x = 0, 2y = 12 => y = 6. Titik (0, 6) - Jika y = 0, 3x = 12 => x = 4. Titik (4, 0) - Garis 3: x = 0 (sumbu y) - Garis 4: y = 0 (sumbu x) Langkah 2: Cari titik potong antara Garis 1 dan Garis 2. Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Eliminasi: 3x + y = 9 (dikali 2) 6x + 2y = 18 3x + 2y = 12 ------------------ (6x - 3x) + (2y - 2y) = 18 - 12 3x = 6 x = 2 Substitusikan x = 2 ke salah satu persamaan (misal Garis 1): 3(2) + y = 9 6 + y = 9 y = 3 Jadi, titik potong antara Garis 1 dan Garis 2 adalah (2, 3). Langkah 3: Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian dibatasi oleh x >= 0, y >= 0, 3x + y >= 9, dan 3x + 2y <= 12. Dengan menguji beberapa titik atau menggambar grafik, kita akan menemukan bahwa titik-titik pojok yang relevan adalah: - Titik potong Garis 1 dengan sumbu y (jika memenuhi syarat lain, tapi dalam kasus ini 3x+y>=9 berarti di atas garis) - Titik potong Garis 1 dengan Garis 2: (2, 3) - Titik potong Garis 2 dengan sumbu x (jika memenuhi syarat lain, tapi dalam kasus ini 3x+2y<=12 berarti di bawah garis) Perhatikan bahwa daerah yang memenuhi 3x+y >= 9 berada di atas atau pada garis 3x+y=9. Sedangkan daerah yang memenuhi 3x+2y <= 12 berada di bawah atau pada garis 3x+2y=12. Daerah yang memenuhi x>=0 dan y>=0 berada di kuadran I. Titik potong yang perlu diuji adalah: - Titik potong Garis 1 (3x+y=9) dengan Garis 2 (3x+2y=12) adalah (2, 3). - Titik potong Garis 1 (3x+y=9) dengan sumbu x (y=0) adalah (3, 0). Namun, titik (3,0) harus memenuhi 3x+2y <= 12. 3(3)+2(0) = 9 <= 12. Jadi (3,0) adalah titik pojok. - Titik potong Garis 2 (3x+2y=12) dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 6). Namun, titik (0,6) harus memenuhi 3x+y >= 9. 3(0)+6 = 6 < 9. Jadi (0,6) BUKAN titik pojok. - Titik potong Garis 1 (3x+y=9) dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 9). Titik (0,9) harus memenuhi 3x+2y <= 12. 3(0)+2(9) = 18 > 12. Jadi (0,9) BUKAN titik pojok. - Titik potong Garis 2 (3x+2y=12) dengan sumbu x (y=0) adalah (4, 0). Titik (4,0) harus memenuhi 3x+y >= 9. 3(4)+0 = 12 >= 9. Jadi (4,0) adalah titik pojok. Jadi, titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah (3, 0), (4, 0), dan (2, 3). Langkah 4: Substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan F = 2x + 3y. - Di titik (3, 0): F = 2(3) + 3(0) = 6 + 0 = 6 - Di titik (4, 0): F = 2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8 - Di titik (2, 3): F = 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 Langkah 5: Tentukan nilai maksimum. Nilai maksimum dari F adalah nilai terbesar yang diperoleh dari substitusi titik-titik pojok. Nilai maksimum F = 13, yang terjadi pada titik (2, 3).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Nilai Optimum
Section: Menentukan Nilai Maksimum Minimum

Apakah jawaban ini membantu?
Nilai maksimum dari F = 2x + 3y pada daerah 3x+y>=9, - Saluranedukasi