Nilai maksimum dari f(x)=2x^3+5x^2-4x dalam interval

28

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x dalam interval -3 ≤ x ≤ 2, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut, mencari titik kritisnya, dan membandingkan nilai fungsi di titik kritis dan di ujung interval.

1. Cari turunan pertama f(x):
f'(x) = d/dx (2x^3 + 5x^2 - 4x)
f'(x) = 6x^2 + 10x - 4

2. Cari titik kritis dengan menyetel f'(x) = 0:
6x^2 + 10x - 4 = 0
Bagi seluruh persamaan dengan 2:
3x^2 + 5x - 2 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(3x - 1)(x + 2) = 0

Solusinya adalah:
3x - 1 = 0  => x = 1/3
x + 2 = 0  => x = -2

Titik kritis dalam interval -3 ≤ x ≤ 2 adalah x = 1/3 dan x = -2.

3. Evaluasi f(x) pada titik kritis dan di ujung interval:
- f(-3) = 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 4(-3) = 2(-27) + 5(9) + 12 = -54 + 45 + 12 = 3
- f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 4(-2) = 2(-8) + 5(4) + 8 = -16 + 20 + 8 = 12
- f(1/3) = 2(1/3)^3 + 5(1/3)^2 - 4(1/3) = 2(1/27) + 5(1/9) - 4/3 = 2/27 + 15/27 - 36/27 = (2 + 15 - 36)/27 = -19/27
- f(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 4(2) = 2(8) + 5(4) - 8 = 16 + 20 - 8 = 28

4. Bandingkan nilai-nilai tersebut:
Nilai-nilai f(x) adalah 3, 12, -19/27, dan 28.
Nilai maksimum adalah 28.

Jadi, nilai maksimum dari f(x)=2x^3+5x^2-4x dalam interval -3≤x≤2 adalah 28.