Nilai maksimum dari f(x, y)=1.000x+500y yang memenuhi

750.000

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan f(x, y) = 1.000x + 500y yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
1. 4x + 2y <= 3.000
2. 2x + 2y <= 2.000
3. x >= 0
4. y >= 0

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Langkah 1: Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari garis batas.
1. 4x + 2y = 3.000  => 2x + y = 1.500
2. 2x + 2y = 2.000  => x + y = 1.000
3. x = 0 (sumbu y)
4. y = 0 (sumbu x)

Langkah 2: Cari titik potong antar garis.

a. Titik potong sumbu x (y=0) untuk garis 1:
   2x + 0 = 1.500 => x = 750. Titik: (750, 0).

b. Titik potong sumbu y (x=0) untuk garis 1:
   2(0) + y = 1.500 => y = 1.500. Titik: (0, 1.500).

c. Titik potong sumbu x (y=0) untuk garis 2:
   x + 0 = 1.000 => x = 1.000. Titik: (1.000, 0).

d. Titik potong sumbu y (x=0) untuk garis 2:
   0 + y = 1.000 => y = 1.000. Titik: (0, 1.000).

e. Titik potong antara garis 1 (2x + y = 1.500) dan garis 2 (x + y = 1.000):
   Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
   (2x + y) - (x + y) = 1.500 - 1.000
   x = 500.
   Substitusikan x = 500 ke persamaan x + y = 1.000:
   500 + y = 1.000 => y = 500. Titik potong: (500, 500).

Langkah 3: Identifikasi titik-titik pojok yang memenuhi semua pertidaksamaan.
Titik-titik pojok yang mungkin adalah:
- (0, 0)
- (750, 0) (titik potong sumbu x dari garis 1. Periksa apakah memenuhi garis 2: 750 + 0 <= 1000, ya)
- (0, 1.000) (titik potong sumbu y dari garis 2. Periksa apakah memenuhi garis 1: 4(0) + 2(1000) = 2000 <= 3000, ya)
- (500, 500) (titik potong garis 1 dan 2. Memenuhi x>=0, y>=0).

Titik pojok yang valid adalah (0,0), (750,0), (0,1000), dan (500,500).

Langkah 4: Substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan f(x, y) = 1.000x + 500y.

a. Di titik (0, 0):
   f(0, 0) = 1.000(0) + 500(0) = 0.

b. Di titik (750, 0):
   f(750, 0) = 1.000(750) + 500(0) = 750.000.

c. Di titik (0, 1.000):
   f(0, 1.000) = 1.000(0) + 500(1.000) = 500.000.

d. Di titik (500, 500):
   f(500, 500) = 1.000(500) + 500(500) = 500.000 + 250.000 = 750.000.

Nilai maksimum dari f(x, y) adalah 750.000, yang dicapai pada titik (750, 0) dan (500, 500).

Periksa kembali titik (750,0) untuk pertidaksamaan 2x+2y<=2000:
2(750) + 2(0) = 1500 <= 2000. Benar.
Periksa kembali titik (0,1000) untuk pertidaksamaan 4x+2y<=3000:
4(0) + 2(1000) = 2000 <= 3000. Benar.

Nilai maksimum yang diperoleh adalah 750.000.