Nilai maksimum f(x)=-2x^2+x+6 adalah

49/8

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi kuadrat \(f(x) = -2x^2 + x + 6\), kita bisa menggunakan rumus sumbu simetri atau turunan.

Metode 1: Menggunakan Sumbu Simetri
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c\). Dalam kasus ini, \(a = -2\), \(b = 1\), dan \(c = 6\).
Nilai maksimum atau minimum terjadi pada sumbu simetri, yang diberikan oleh rumus \(x = -b / (2a)\).

x = -(1) / (2 * -2)
x = -1 / -4
x = 1/4

Untuk menemukan nilai maksimumnya, substitusikan nilai x ini kembali ke fungsi f(x):
f(1/4) = -2(1/4)^2 + (1/4) + 6
f(1/4) = -2(1/16) + 1/4 + 6
f(1/4) = -1/8 + 2/8 + 48/8
f(1/4) = (-1 + 2 + 48) / 8
f(1/4) = 49/8

Metode 2: Menggunakan Turunan
Untuk mencari nilai maksimum atau minimum, kita bisa mencari turunan pertama fungsi dan menyamakannya dengan nol.

f(x) = -2x^2 + x + 6

Turunan pertama, f'(x):
f'(x) = d/dx (-2x^2 + x + 6)
f'(x) = -4x + 1

Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari titik kritis:
-4x + 1 = 0
-4x = -1
x = 1/4

Untuk memastikan ini adalah nilai maksimum, kita bisa gunakan turunan kedua. Turunan kedua dari f(x) adalah f''(x) = -4. Karena f''(x) negatif, maka pada x = 1/4 terdapat nilai maksimum.

Substitusikan x = 1/4 ke dalam fungsi f(x):
f(1/4) = -2(1/4)^2 + (1/4) + 6
f(1/4) = -2(1/16) + 1/4 + 6
f(1/4) = -1/8 + 2/8 + 48/8
f(1/4) = 49/8

Jadi, nilai maksimum dari f(x) adalah 49/8.