Nilai maksimum fungsi z=400x+300y yang memenuhi sistem

Nilai maksimumnya adalah 3100.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi tujuan $z = 400x + 300y$ pada sistem pertidaksamaan linear:
1) $5x + 2y \le 30$
2) $2x + 4y \le 28$ (atau $x + 2y \le 14$)
3) $y \le 6$
4) $x \ge 0$
5) $y \ge 0$

Langkah pertama adalah mencari titik-titik potong dari garis-garis batas sistem pertidaksamaan tersebut. Titik-titik potong ini akan membentuk daerah yang layak (feasible region).

*   Titik potong sumbu x dan y dari $5x + 2y = 30$:
    Jika $x=0$, $2y=30 
ightarrow y=15$. Titik (0, 15).
    Jika $y=0$, $5x=30 
ightarrow x=6$. Titik (6, 0).

*   Titik potong sumbu x dan y dari $x + 2y = 14$:
    Jika $x=0$, $2y=14 
ightarrow y=7$. Titik (0, 7).
    Jika $y=0$, $x=14$. Titik (14, 0).

*   Garis $y=6$ adalah garis horizontal.
*   Garis $x=0$ adalah sumbu y.
*   Garis $y=0$ adalah sumbu x.

Selanjutnya, cari titik potong antar garis:

1.  Potong $5x + 2y = 30$ dan $x + 2y = 14$:
    Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
    $(5x + 2y) - (x + 2y) = 30 - 14$
    $4x = 16 
ightarrow x = 4$
    Substitusikan $x=4$ ke $x + 2y = 14$:
    $4 + 2y = 14 
ightarrow 2y = 10 
ightarrow y = 5$. Titik (4, 5).

2.  Potong $x + 2y = 14$ dan $y = 6$:
    Substitusikan $y=6$ ke $x + 2y = 14$:
    $x + 2(6) = 14 
ightarrow x + 12 = 14 
ightarrow x = 2$. Titik (2, 6).

3.  Potong $5x + 2y = 30$ dan $y = 6$:
    Substitusikan $y=6$ ke $5x + 2y = 30$:
    $5x + 2(6) = 30 
ightarrow 5x + 12 = 30 
ightarrow 5x = 18 
ightarrow x = 3.6$. Titik (3.6, 6).

Periksa apakah titik-titik potong memenuhi semua pertidaksamaan:
*   Titik (0, 0): Memenuhi.
*   Titik (6, 0): Memenuhi ($5(6)+2(0)=30$, $6+2(0)=6 
e 14$, $0 
e 6$). Ini di batas $5x+2y 
e 30$ dan $x+2y 
e 14$. Titik (6,0) memenuhi $5x+2y 
e 30$. $5(6)+2(0)=30 
gtr 30$. $6+2(0)=6 
ot
otin 14$. $0 
gtr 6$. Perlu dicek lagi.

Mari kita identifikasi titik-titik sudut daerah layak:
*   Titik O (0, 0).
*   Titik potong $5x+2y=30$ dengan sumbu x: (6, 0). Cek pertidaksamaan lain: $6+2(0) 
ot
otin 14$, $0 
gtr 6$. Jadi (6,0) bukan titik layak.
*   Titik potong $x+2y=14$ dengan sumbu x: (14, 0). Tapi ini melanggar $5x+2y 
e 30$ karena $5(14)=70$. Titik (14,0) bukan titik layak.
*   Titik potong $5x+2y=30$ dengan $y=0$: (6,0). Tapi $6+2(0) = 6 
gtr 14$. Jadi titik (6,0) tidak layak.

Titik-titik sudut yang memenuhi adalah:
1.  (0, 0)
2.  Titik potong sumbu y ($x=0$) dengan $x+2y=14$, yaitu (0, 7). Namun, ini melanggar $y 
gtr 6$. Jadi, titik potong sumbu y ($x=0$) dengan $y=6$ adalah (0, 6). Cek $5x+2y 
e 30 
ightarrow 5(0)+2(6)=12 
gtr 30$. Cek $x+2y 
e 14 
ightarrow 0+2(6)=12 
gtr 14$. Jadi, (0, 6) adalah titik layak.
3.  Titik potong $5x + 2y = 30$ dengan $x + 2y = 14$: (4, 5). Cek $y 
e 6 
ightarrow 5 
gtr 6$. Jadi, (4, 5) adalah titik layak.
4.  Titik potong $x + 2y = 14$ dengan $y = 6$: (2, 6). Cek $5x+2y 
e 30 
ightarrow 5(2)+2(6) = 10+12 = 22 
gtr 30$. Jadi, (2, 6) adalah titik layak.
5.  Titik potong $5x+2y=30$ dengan $y=0$: (6,0). Cek $x+2y 
e 14 
ightarrow 6+0=6 
gtr 14$. Cek $y 
e 6$. Jadi, (6,0) adalah titik layak.

Titik-titik sudut daerah layak adalah (0, 0), (0, 6), (2, 6), (4, 5), dan (6, 0).

Sekarang, substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan $z = 400x + 300y$:
*   Di (0, 0): $z = 400(0) + 300(0) = 0$
*   Di (0, 6): $z = 400(0) + 300(6) = 1800$
*   Di (2, 6): $z = 400(2) + 300(6) = 800 + 1800 = 2600$
*   Di (4, 5): $z = 400(4) + 300(5) = 1600 + 1500 = 3100$
*   Di (6, 0): $z = 400(6) + 300(0) = 2400$

Nilai maksimum dari $z$ adalah 3100, yang dicapai pada titik (4, 5).