Diberikan kcordinat titik O(0,0), B(-3, akar(7)) dan A(a,

$rac{\sqrt{14}}{4}$

Pembahasan

Diberikan segitiga AOB dengan koordinat titik O(0,0), B(-3, $\sqrt{7}$), dan A(a, 0) dengan $a > 0$. Sudut $\angle OAB = \alpha$ dan $\angle OBA = \beta$. Kita diminta mencari $\cos(\frac{1}{2}(\alpha + \beta))$.

Dalam segitiga AOB, jumlah sudutnya adalah 180 derajat (atau $\pi$ radian). Jadi, $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.
$\angle AOB + \alpha + \beta = 180^\circ$.
Maka, $\alpha + \beta = 180^\circ - \angle AOB$.
$
\frac{1}{2}(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle AOB) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$.

Kita perlu mencari $\cos(\frac{1}{2}(\alpha + \beta))$, yang sama dengan $\cos(90^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB)$.
Menggunakan identitas $\cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, maka:
$\cos(\frac{1}{2}(\alpha + \beta)) = \sin(\frac{1}{2}\angle AOB)$.

Untuk mencari $\sin(\frac{1}{2}\angle AOB)$, kita bisa menggunakan identitas setengah sudut $\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1-\cos(\theta)}{2}$. Jadi, kita perlu mencari $\cos(\angle AOB)$.

Sudut $\angle AOB$ adalah sudut antara vektor OA dan OB. Vektor OA = (a, 0) dan vektor OB = (-3, $\sqrt{7}$).

Panjang vektor OA, $|OA| = \sqrt{a^2 + 0^2} = a$ (karena $a > 0$).
Panjang vektor OB, $|OB| = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4$.

Produk titik (dot product) OA · OB = $|OA| |OB| \cos(\angle AOB)$.
OA · OB = $(a)(-3) + (0)(\sqrt{7}) = -3a$.

Maka, $-3a = (a)(4) \cos(\angle AOB)$.
$-3a = 4a \cos(\angle AOB)$.
Karena $a > 0$, kita bisa membagi kedua sisi dengan $a$:
$-3 = 4 \cos(\angle AOB)$.
$\cos(\angle AOB) = -\frac{3}{4}$.

Sekarang kita hitung $\sin(\frac{1}{2}\angle AOB)$:
$\sin^2(\frac{1}{2}\angle AOB) = \frac{1 - \cos(\angle AOB)}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{4})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$.

Karena $\angle AOB$ adalah sudut dalam segitiga, $0 < \angle AOB < 180^\circ$. Maka $0 < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$. Dalam kuadran ini, sinus bernilai positif.
$\sin(\frac{1}{2}\angle AOB) = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Jadi, $\cos(\frac{1}{2}(\alpha + \beta)) = \sin(\frac{1}{2}\angle AOB) = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Pilihan yang sesuai adalah (E).