limit x mendekati tak hingga (akar(25

-43/4

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai dari limit berikut:
lim (x→∞) [√(25x^2 - 100x) - √(4x^2 - 5x) - 3x - 2]

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan mengalikan dengan bentuk sekawan untuk menghilangkan akar kuadrat.
Pertama, kita gabungkan suku-suku yang memiliki akar:
lim (x→∞) [√(25x^2 - 100x) - (√(4x^2 - 5x) + 3x + 2)]

Perhatikan bahwa √(25x^2) = 5x. Jadi, kita bisa mengelompokkan suku-suku tersebut agar lebih mudah dikelola:
lim (x→∞) [√(25x^2 - 100x) - 5x - (√(4x^2 - 5x) - 2x - 2)]

Sekarang, kita kalikan dengan bentuk sekawan untuk setiap pasangan akar:

Untuk suku pertama: √(25x^2 - 100x) - 5x
= [√(25x^2 - 100x) - 5x] * [√(25x^2 - 100x) + 5x] / [√(25x^2 - 100x) + 5x]
= (25x^2 - 100x - 25x^2) / [√(25x^2 - 100x) + 5x]
= -100x / [√(25x^2 - 100x) + 5x]
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= -100 / [√(25 - 100/x) + 5]
Saat x→∞, ini menjadi -100 / (√25 + 5) = -100 / (5 + 5) = -100 / 10 = -10.

Untuk suku kedua: -(√(4x^2 - 5x) - 2x)
= - [√(4x^2 - 5x) - 2x] * [√(4x^2 - 5x) + 2x] / [√(4x^2 - 5x) + 2x]
= - (4x^2 - 5x - 4x^2) / [√(4x^2 - 5x) + 2x]
= - (-5x) / [√(4x^2 - 5x) + 2x]
= 5x / [√(4x^2 - 5x) + 2x]
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= 5 / [√(4 - 5/x) + 2]
Saat x→∞, ini menjadi 5 / (√4 + 2) = 5 / (2 + 2) = 5 / 4.

Untuk suku ketiga: -2
Nilainya tetap -2.

Jadi, nilai limit keseluruhan adalah hasil penjumlahan dari ketiga suku tersebut:
-10 + 5/4 - 2
= -12 + 5/4
= -48/4 + 5/4
= -43/4.

Mari kita coba pendekatan lain yang lebih langsung dengan menyederhanakan ekspresi di dalam akar:
lim (x→∞) [√(x^2(25 - 100/x)) - √(x^2(4 - 5/x)) - 3x - 2]
lim (x→∞) [x√(25 - 100/x) - x√(4 - 5/x) - 3x - 2]
lim (x→∞) [x(√(25 - 100/x) - √(4 - 5/x) - 3) - 2]

Ketika x→∞:
√(25 - 100/x) → √25 = 5
√(4 - 5/x) → √4 = 2

Jadi, ekspresi di dalam kurung menjadi: 5 - 2 - 3 = 0.

Ini mengarah pada bentuk 0 * ∞, yang memerlukan penanganan lebih lanjut.

Mari kita kembali ke bentuk awal dan kelompokkan suku-sukunya:
lim (x→∞) [√(25x^2 - 100x) - 3x - √(4x^2 - 5x) - 2]

Kelompokkan suku pertama dan ketiga:
lim (x→∞) [(√(25x^2 - 100x) - 3x) - (√(4x^2 - 5x) + 2)]

Perhatikan bahwa √(25x^2) = 5x.
lim (x→∞) [(√(25x^2 - 100x) - 5x) + (5x - 3x) - (√(4x^2 - 5x) + 2)]
lim (x→∞) [(√(25x^2 - 100x) - 5x) + 2x - (√(4x^2 - 5x) + 2)]

Kita sudah hitung √(25x^2 - 100x) - 5x ≈ -10.
Kita perlu menangani 2x - (√(4x^2 - 5x) + 2).

Mari kita fokus pada: lim (x→∞) [√(25x^2 - 100x) - √(4x^2 - 5x) - 3x]
Sederhanakan menjadi: lim (x→∞) [x(√(25 - 100/x) - √(4 - 5/x) - 3)]
Bentuk ini masih 0 * ∞.

Mari kita coba kalikan dengan konjugat dari [√(25x^2 - 100x) - √(4x^2 - 5x)]:
[√(25x^2 - 100x) - √(4x^2 - 5x)] * [√(25x^2 - 100x) + √(4x^2 - 5x)] / [√(25x^2 - 100x) + √(4x^2 - 5x)]
= (25x^2 - 100x - (4x^2 - 5x)) / [√(25x^2 - 100x) + √(4x^2 - 5x)]
= (21x^2 - 95x) / [√(25x^2 - 100x) + √(4x^2 - 5x)]
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= (21x - 95) / [√(25 - 100/x) + √(4 - 5/x)]
Saat x→∞, penyebutnya adalah √25 + √4 = 5 + 2 = 7.
Pembilangnya menjadi tak terhingga. Ini juga tidak benar.

Mari kita gunakan pendekatan deret Taylor atau menyederhanakan ekspresi di dalam akar dengan memfaktorkan x:
√(25x^2 - 100x) = 5x√(1 - 4/x) ≈ 5x(1 - 1/2 * 4/x) = 5x(1 - 2/x) = 5x - 10
√(4x^2 - 5x) = 2x√(1 - 5/(4x)) ≈ 2x(1 - 1/2 * 5/(4x)) = 2x(1 - 5/(8x)) = 2x - 5/4

Maka ekspresi menjadi:
(5x - 10) - (2x - 5/4) - 3x - 2
= 5x - 10 - 2x + 5/4 - 3x - 2
= (5x - 2x - 3x) + (-10 + 5/4 - 2)
= 0x + (-12 + 5/4)
= -48/4 + 5/4
= -43/4.

Jadi, nilai limitnya adalah -43/4.